Bruch-zu-Dezimal-Rechner

Der Bruch-zu-Dezimal-Rechner ist ein kostenloser Online-Rechner zur Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen. Wir können Brüche manuell in Dezimalzahlen umwandeln, indem wir verschiedene Methoden wie die lange Division verwenden. Dieser einfach zu bedienende Rechner führt die Umrechnung jedoch schnell durch.

Der Benutzer kann das Äquivalent eines beliebigen Bruchs finden, indem er einfach die Werte von Zähler und Nenner einträgt, die Rundungsoptionen angibt und auf Berechnen drückt! Das Tool zeigt auch die Berechnungsschritte an, die zur Durchführung der Umrechnung erforderlich sind. In den folgenden Abschnitten werden Brüche, Dezimalzahlen und Rundungen erklärt, damit der Benutzer die wichtigen Informationen erhält, um dieses Tool effektiv zu nutzen.

Per Definition sind Brüche numerische Größen, die einen Teil oder einen Anteil von etwas darstellen. Vom mathematischen Standpunkt aus betrachtet, definiert ein Bruch einen Teil eines Ganzen. Das Wort "Ganzes" kann eine Zahl, eine Menge oder sogar eine Pizza oder einen Kuchen darstellen!

Wenn man sich das Bild unten ansieht, kann man sagen, dass ein Achtel der Pizza fehlt, oder \$\frac{1}{8}\$ der Pizza fehlt. Wie kommt man zu dieser Schlussfolgerung? Zählen wir zunächst die Gesamtzahl der Scheiben, aus denen eine "ganze" Pizza besteht. Das sind 8 Scheiben.

Daraus können wir schließen, dass \$\frac{1}{8}\$ der Pizza weg ist oder \$\frac{7}{8}\$ der Pizza übrig ist.

Ein Bruch besteht aus zwei Teilen: einem Zähler, der die Zahl oberhalb des Bruchstrichs darstellt, und einem Nenner, der die Zahl unterhalb des Bruchstrichs darstellt. Brüche können positiv oder negativ sein.

Arten von Brüchen

Es gibt verschiedene Arten von Brüchen, die sich in ihren Eigenschaften unterscheiden. Einige davon sind im Folgenden aufgeführt:

Echte Brüche

Sind Brüche, bei denen der Nenner größer ist als der Zähler. Beispiele:

$$\frac{10}{11},\frac{5}{7},\frac{999}{1000}$$

Unreine Brüche

Unreine Brüche sind Brüche, bei denen der Zähler (die obere Zahl) gleich oder größer ist als der Nenner (die untere Zahl). Das bedeutet, dass der Wert des Bruches gleich oder größer als 1 ist.

Beispiele:

$$\frac{5}{4},\frac{8}{7},\frac{567}{123}$$

Gemischte Brüche

Sind Brüche, die aus einer ganzen Zahl und einem richtigen Bruch bestehen. Im vorherigen Beispiel konnten wir den unechten Bruch \$\frac{5}{4}\$ als gemischten Bruch \$1\frac{1}{4}\$ schreiben, wobei 1 die ganze Zahl und \$\frac{1}{4}\$ der richtige Bruch ist.

Einheitsbrüche

Sind Brüche mit einem Zähler, der den Wert 1 hat. Ein Beispiel ist \$\frac{1}{4}\$ oder \$\frac{1}{1254}\$.

Dezimale

Eine Dezimalzahl ist eine Zahl, deren ganzer und gebrochener Teil durch einen Dezimalpunkt getrennt ist.

Wenn wir die beiden äquivalenten Brüche \$\frac{5}{4}\$ und \$1\frac{1}{4}\$ betrachten, können wir den Bruch mit Hilfe des Bruch-zu-Dezimal-Rechners in eine Dezimalzahl umwandeln und sie als \$\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}=1.25\$ schreiben.

Genau wie Brüche können auch Dezimalzahlen positiv oder negativ sein. Wir unterscheiden zwei Haupttypen von Dezimalzahlen:

Abschließende Dezimalzahlen

Dies sind Dezimalzahlen mit einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen. Das bedeutet, dass die Ziffern nach dem Komma abzählbar sind. Solche Dezimalzahlen können als exakte Dezimalzahlen bezeichnet werden, z.B. 1,23 oder 7,7894512554.

Nicht abschließende Dezimalzahlen (Non-Terminating Decimal Numbers)

Dies sind Dezimalzahlen mit einer unendlichen Anzahl von Stellen nach dem Komma. Wir können auch nicht endende Dezimalzahlen in zwei Klassen einteilen: wiederkehrende und nicht wiederkehrende Dezimalzahlen.

Wiederkehrende Dezimalzahlen

Die Zahlen nach dem Dezimalpunkt wiederholen sich nach demselben Muster, wie z.B. 5,141414..., wobei sich der Wert "14" immer wiederholt.

Nicht wiederkehrende Dezimalzahlen

Nicht wiederkehrende Dezimalzahlen sind Dezimalzahlen, bei denen sich die Ziffern nach dem Dezimalpunkt nicht in einem bestimmten Muster wiederholen. Diese Zahlen können entweder endlich oder unendlich lang sein. Endliche nicht wiederkehrende Dezimalzahlen haben eine begrenzte Anzahl von Nachkommastellen und enden, ohne eine sich wiederholende Folge zu bilden. Ein Beispiel für eine endliche, nicht wiederkehrende Dezimalzahl ist 0,123, die drei einzelne Ziffern nach dem Komma hat und dann endet.

Unendliche nicht wiederkehrende Dezimalzahlen hingegen setzen sich unendlich fort, ohne ein Muster zu wiederholen. Ein bekanntes Beispiel ist die mathematische Konstante π (etwa 3,14159), die sich unendlich fortsetzt, ohne dass sich die Ziffernfolge wiederholt. Diese Art von Dezimalzahlen ist für die Darstellung präziser Messungen und irrationaler Zahlen in der Mathematik unerlässlich.

Manuelle Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen

1. Konvertieren Sie den Nenner in 10, 100 oder 1.000

Diese Methode ist sehr einfach, aber sie funktioniert nicht bei jedem Bruch.

Multiplizieren Sie zunächst den Zähler und den Nenner mit einer Zahl, die den unteren Teil des Bruchs in 10 oder 100, 1000 usw. umwandelt.

Nehmen wir an, wir müssen einen Bruch mit einem Zähler von 6 und einem Nenner von 25 umrechnen. Wir können 100 unten erhalten, indem wir 25 mit 4 multiplizieren. Vergessen Sie nicht, den oberen Teil zu multiplizieren. Wir erhalten also 24.

$$\frac{6}{25}=\frac{6 × 4}{25 × 4}= \frac{24}{100}$$

Schreiben Sie den Zähler separat auf. Zählen Sie von rechts die Anzahl der Ziffern, die Sie nach der Multiplikation im Nenner haben (3 Ziffern in 100), und setzen Sie ein Komma an diese Stelle. Dies ist die gesuchte Dezimalstelle - 0,24.

Ein anderes Beispiel:

$$\frac{13}{40}=\frac{13 × 25}{40 × 25}= \frac{325}{1000}=0,325$$

Die aktuelle Methode ist ungeeignet, wenn Sie keinen solchen Multiplikator finden, der den Nenner in 10, 100 oder 1000 umwandeln kann. Verwenden Sie in diesem Fall die zweite Methode.

2. Dividieren Sie den Zähler durch den Nenner

Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, dividieren Sie den oberen Teil des Bruchs durch den unteren Teil. Am einfachsten geht das natürlich mit einem Taschenrechner.

Wenn es für Sie wichtig ist, ohne Hilfsmittel auszukommen, verwenden Sie die manuelle Divisionsmethode. Konvertieren Sie zum Beispiel einen Bruch mit einem Zähler von 80 und einem Nenner von 125. Wenn Sie 80 durch 125 manuell dividieren, erhalten Sie 0,64.

Angenommen, Sie stellen beim manuellen Dividieren fest, dass der Prozess nicht zu Ende geht und nach dem Komma wiederholte Ziffern aneinandergereiht werden. In diesem Fall kann dieser Bruch nicht in eine abschließende Dezimalzahl umgewandelt werden.

Die Antwort kann als nicht-terminierende Dezimalzahl geschrieben werden. Dazu schreiben Sie die sich wiederholenden Ziffern in Klammern, etwa so: \$\frac{2}{3}=0,6666... = 0,(6)\$ oder \$\frac{7}{6}= 1,6666... = 1,(6)\$ oder \$\frac{6}{22}=0,272727... = 0,(27)\$

Ein Bruch \$\frac{a}{b}\$ kann nur dann in eine endliche Dezimalzahl umgewandelt werden, wenn die Zerlegung des Nenners von B in Primfaktoren keine anderen Zahlen außer 2 und 5 enthält.

Anwendung zur Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen

Warum müssen wir also Brüche in Dezimalzahlen umwandeln? Dezimalzahlen sind besser interpretierbar und genauer als Brüche. Vergleichen Sie zum Beispiel die folgenden zwei Brüche:

$$\frac{6458}{749894} \ und \ \frac{8798}{846489}$$

Es ist nicht einfach, diese beiden Brüche zu vergleichen, indem man sie einfach nur ansieht.

Nutzen wir die Präzisionskraft von Dezimalzahlen. Lassen Sie uns die Umrechnung mit Aufrundung auf die nächste Millionstelstelle vornehmen:

$$\frac{6458}{749894}=0,008612 \ und \ \frac{8798}{846489}=0,010394$$

Nun können wir eindeutig sagen, dass, da

$$0,008612 < 0,010394$$

dann

$$\frac{6458}{749894} < \frac{8798}{846489}$$

Die Berechnung von Prozentsätzen ist ein Beispiel, das die praktische Verwendung von Brüchen in einem Dezimaltaschenrechner veranschaulicht.

Beispiel 1

Jack ist bei dem Familientreffen angekommen. Insgesamt nahmen sieben Personen an der Feier teil. Jack bestellte eine Pizza mit Speck, um sie gleichmäßig unter allen aufzuteilen. Als die Pizza angeschnitten wurde, aß Jack 1 Stück. Das heißt, er bekam \$\frac{1}{7}\$ von der Pizza.

Am nächsten Wochenende kamen 13 Verwandte zu dem Treffen. Also bestellte Jack wieder die Schinkenpizza. Als die Pizza geliefert wurde und er sie in 13 Stücke schnitt, kam ein unvorhergesehener Umstand zum Vorschein. Er hatte nicht bedacht, dass einige der Verwandten, die an diesem Tag gekommen waren, Vegetarier waren und die Speckpizza nicht essen würden. Jack hatte Glück und bekam zwei Scheiben seiner Lieblingspizza. Also aß er an diesem Tag \$\frac{2}{13}\$. Wie können wir herausfinden, wann Jack mehr gegessen hat?

Um diese Zahlen zu vergleichen, ist es sinnvoller, die Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln. Beim ersten Heimtreffen hat Jack \$\frac{1}{7}=0,1428571428571429\$ der Pizza gegessen. Beim zweiten Heimtreffen hat Jack \$\frac{2}{13}=0,1538461538461538461538\$ der Pizza gegessen.

$$0,142857141428571429 < 0,1538461538461538$$

oder

$$0,14 < 0,15$$

Der Unterschied war nicht so groß, aber es stellt sich heraus, dass Jack beim zweiten Mal ein wenig mehr bekommen hat.

Beispiel 2

Betrachten Sie eine Klasse mit 83 Schülern, 37 Jungen und 46 Mädchen. In dieser Klasse mögen 21 Schüler Literatur, 57 mögen Naturwissenschaften und 5 mögen Mathematik.

Wir können damit beginnen, diese Teile eines Ganzen als Brüche darzustellen. Dann kann der Taschenrechner Brüche in Dezimalzahlen umwandeln (Rundung auf das nächste Hundertstel), und wir können Prozentsätze ermitteln, indem wir das Ergebnis anschließend mit 100 multiplizieren.

• Der Prozentsatz der Jungen in der Klasse:

$$\frac{37}{83} × 100\%≈ 0,45 × 100\% ≈ 45\%$$

• Der Prozentsatz der Mädchen in der Klasse:

$$\frac{46}{83} × 100\% ≈ 0,55 × 100\% ≈ 55\% $$

Wir können sehen, dass Dezimalzahlen und Prozentsätze besser interpretierbar sind als Brüche. Folglich können wir das Folgende schreiben;

• Der Prozentsatz der Studenten, die Literatur mögen:

$$\frac{21}{83} × 100\% ≈ 0,25 × 100\% ≈ 25\%$$

• Der Prozentsatz der Schüler, die Naturwissenschaften mögen:

$$\frac{57}{83} × 100\% ≈ 0,69 × 100\% ≈ 69\%$$

• Der Prozentsatz der Schüler, die Mathematik mögen:

$$\frac{5}{83} × 100\% ≈ 0,06 × 100\% ≈ 6\%$$