Dreiecksrechner

Dreiecksrechner

Der Dreiecksrechner ist ein Online-Dreieckslöser, mit dem Sie alle Dreiecksmaße anhand von drei bekannten Maßen schnell ermitteln können. Der Rechner nimmt die Längen der Seiten eines Dreiecks und die Winkel des Dreiecks als Eingaben und berechnet die folgenden Maße:

• fehlende Seitenlängen,
• fehlende Dreieckswinkel,
• Fläche,
• Umfang,
• Halbkreismaß,
• Höhen zu allen Seiten des Dreiecks,
• Mediane zu allen Seiten des Dreiecks,
• Innenradius,
• Umfangsradius.

Der Rechner liefert auch die Koordinaten der Eckpunkte, des Schwerpunkts, des Inkreismittelpunkts und des Umkreismittelpunkts. Dabei wird angenommen, dass die Koordinaten des Eckpunkts A [0, 0] sind.

Bedienungsanleitung

Um diesen Dreiecksrechner zu benutzen, geben Sie drei beliebige Werte in die Eingabefelder ein. Sie können die Werte beliebiger Winkel oder beliebiger Seitenlängen eingeben. Beachten Sie, dass mindestens einer der Werte eine Seitenlänge darstellen muss, da das Dreieck sonst unendlich viele Lösungen hat.

Nachdem Sie die Werte eingegeben haben, wählen Sie die Einheiten für die Dreieckswinkel aus. Sie können zwischen Grad und Bogenmaß wählen. Wenn Sie Bogenmaß wählen, verwenden Sie "pi", um π darzustellen. Wenn der Winkelwert zum Beispiel \$\frac{π}{3}\$ ist, geben Sie "pi/3" ein. Nachdem Sie die bekannten Werte eingegeben haben, drücken Sie auf "Berechnen". Der Rechner gibt alle fehlenden Werte aus der obigen Liste und die schematische Darstellung des Dreiecks zurück, was Ihnen hilft, es besser zu visualisieren.

Nach der Antwort können Sie das folgende Feld - Berechnungsschritte anzeigen - erweitern, um sich mit dem Lösungsalgorithmus und den Formeln vertraut zu machen, die zur Ermittlung der Antwort verwendet wurden.

Beschränkungen für die Eingabewerte

Mindestens einer der bekannten Werte muss eine Seitenlänge sein.

Wenn Sie die folgende Kombination von Werten eingeben - zwei Winkel und eine Seitenlänge - beachten Sie, dass die Summe der Winkelwerte kleiner als 180° oder π sein muss.

Wenn Sie drei Seitenlängen eingeben, beachten Sie, dass die Summe von zwei beliebigen Seitenlängen größer sein muss als die Länge der verbleibenden Seite.

Berechnungsbeispiel

Stellen Sie sich vor, Sie ziehen um und möchten sich von einem Freund einen Lastwagen leihen. Sie müssen den Lastwagen be- und entladen, aber er hat keine eingebaute Rampe. Sie haben eine tragbare Rampe, aber Sie müssen sicherstellen, dass ihre Abmessungen zur Höhe des Lastwagens passen. Ihre Rampe ist nicht verstellbar und Sie haben gemessen, dass ihre beiden Seiten 1 m und 0,8 m messen und der Winkel gegenüber der Seite von 1 m 85 Grad beträgt (siehe Abbildung). Sie wissen, dass Sie die Höhe des Staplers von 0,5 m bis 1 m verstellen können. Passt Ihre Rampe?

Gegeben

• Seite b = 1;
• Seite c = 0,8;
• Winkel B = 85 Grad.

Lösung

Um festzustellen, ob Ihre Rampe auf den Lkw passt, müssen Sie das obige Dreieck lösen und schätzen, ob die Länge der Seite A in den vorgegebenen Bereich für die Höhe des Lkw passt: 0,5 < a < 1. Wenn Sie die oben dargestellten Werte in den Dreiecksrechner eingeben, erhalten Sie in der Aufgabe folgende Antwort, wir benötigen nur die fehlende Seitenlänge.

Die restlichen Antworten werden in diesem praktischen Beispiel also nicht gezeigt, während der Dreieckslöser sie dennoch berechnet:

Antwort

• Seite a = 0,67376

• Seite b = 1

• Seite c = 0,8

• Winkel A = 42,16° = 42°9'35" = 0,73582 rad

• Winkel B = 85° = 1,48353 rad

• Winkel C = 52,84° = 52°50'25" = 0,92224 rad

Die Rampe sieht in etwa so aus:

Wir sehen, dass a ≈ 0.674 ist, und wir wissen, dass die Höhe des Lastwagens in einem Bereich von 0,5 < a < 1 eingestellt werden kann. Das bedeutet, dass die Höhe der Rampe mit der verstellbaren Höhe des Lastwagens übereinstimmt, und Sie können sich den Lastwagen von Ihrem Freund ausleihen, anstatt ihn zu mieten!

Dreieck: Definition und wichtige Formeln

In der Geometrie ist ein Dreieck eine ebene Figur, die durch den Schnittpunkt von drei geraden, nicht parallelen Linien entsteht. Ein Dreieck kann auch als Polygon mit drei Eckpunkten und drei Kanten beschrieben werden. Die Kanten des Dreiecks werden gewöhnlich als Seiten bezeichnet.

Bedingungen für die Existenz eines Dreiecks

Es gibt zwei Bedingungen für die Existenz eines Dreiecks: eine Bedingung bezieht sich auf die Seiten und die andere auf die Winkel. Die Bedingung für die Seiten basiert auf der Dreiecksungleichung. Sie besagt, dass die Summe der Längen von zwei beliebigen Seiten des Dreiecks größer oder gleich der Länge der verbleibenden dritten Seite sein muss. Wenn die Summe der Längen der beiden Seiten gleich der Länge der dritten Seite ist, wird das Dreieck als entartet bezeichnet.

Ein entartetes Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle drei Eckpunkte auf der gleichen Geraden liegen. Dies ist ein sehr spezieller Fall eines Dreiecks, der in der Regel nicht in der elementaren Geometrie behandelt wird und daher hier nicht berücksichtigt wird.

Die Winkelbedingung besagt, dass die Summe der drei Winkel eines Dreiecks immer gleich 180° oder π Radiant ist.

Dreiecksmaße

Definieren wir nun die wichtigsten Dreiecksmaße und sehen wir uns die Formeln zur Berechnung ihrer Werte an.

Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe der Längen aller Seiten des Dreiecks und lässt sich wie folgt berechnen:

p = a + b + c

Der Halbkreisumfang eines Dreiecks - ist die Hälfte der Länge des Umfangs des Dreiecks:

$$s=\frac{p}{2}=\frac{a+b+c}{2}$$

Der Flächeninhalt eines Dreiecks - ist eine Eigenschaft, die beschreibt, wie viel Platz das Dreieck in einer Ebene einnimmt. Wenn die Längen der beiden Seiten des Dreiecks und der Winkel zwischen diesen beiden Seiten bekannt sind, kann der Flächeninhalt eines Dreiecks wie folgt berechnet werden:

$$A=\frac{1}{2}a× b×\sin{C}$$

Die Höhe eines Dreiecks ist die Senkrechte von einem der Winkel zur gegenüberliegenden Seite. Da jedes Dreieck drei Seiten hat, hat jedes Dreieck auch drei Senkrechte. Eine Höhe, die senkrecht zur Seite A steht, wird gewöhnlich als hₐ bezeichnet. In ähnlicher Weise werden die beiden anderen Höhen mit \$h_b\$ und h꜀ bezeichnet. Der einfachste Weg, die Höhe eines Dreiecks zu bestimmen, ist über seinen Flächeninhalt:

$$A=\frac{1}{2}× a× h_a=\frac{1}{2}× b× h_b=\frac{1}{2}× c× h_c$$

$$h_a=\frac{2A}{a}, h_b=\frac{2A}{b}, h_c=\frac{2A}{c}$$

Median zu einer Seite eines Dreiecks - ist die Linie von einem Scheitelpunkt des Dreiecks zur Mitte der gegenüberliegenden Seite. Jedes Dreieck hat drei Mediane.

Ein Median zur Seite a wird gewöhnlich als mₐ bezeichnet. In ähnlicher Weise werden die beiden anderen Mediane als \$m_b\$ und m꜀ bezeichnet. Wir können die Längen der Mediane mit der folgenden Formel ermitteln:

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b²+2c^2-a^2}$$

Der Inradius eines Dreiecks - ist der Radius eines Kreises, der in das Dreieck eingeschrieben ist und alle Seiten des Dreiecks berührt.

Die Länge des Inradius r kann wie folgt ermittelt werden:

$$r=\frac{A}{s}$$

Der Umfangsradius eines Dreiecks - ist der Radius eines Kreises, der durch alle drei Scheitelpunkte des Dreiecks verläuft.

Wir können die Länge des Umfangsradius R mit Hilfe der Sinusregel ermitteln:

$$2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$

Die Sinusregel ist auch nützlich, um die fehlenden Werte von Seitenlängen oder Winkeln eines Dreiecks zu finden. Eine weitere hilfreiche Regel ist die Kosinusregel:

$$a=\sqrt{b²+c^2-2bc\cos{A}}$$

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos{B}}$$

$$c=\sqrt{a^2+b²-2ab\cos{C}}$$

Mit den oben aufgeführten Formeln lassen sich alle Dreiecksmaße berechnen. Der Dreiecksrechner verwendet diese Formeln, um die fehlenden Werte zu ermitteln.