Entfernungsberechnung

Die nachstehenden Rechner können verwendet werden, um die Entfernung zwischen zwei Punkten in einem zweidimensionalen Raum (2D-Ebene) oder einem dreidimensionalen Raum (3D-Raum) zu ermitteln, sowie um die Entfernung zwischen zwei Orten zu berechnen, die durch Breiten- und Längengrad definiert oder als Punkte auf der Weltkarte angegeben sind. Es gibt vier Rechner auf dieser Seite:

• 2D-Entfernungsberechnung
• 3D-Entfernungsberechnung
• Rechner für Abstände zwischen Koordinaten
• Rechner für die Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Karte

Der 2D-Distanzrechner kann auch verwendet werden, um die Geradengleichung zu bestimmen und die Steigung und den Winkel der Geraden zu finden, die zwei gegebene Punkte verbindet.

Gebrauchsanweisung

2D-Entfernungsrechner

Dieser Rechner ermittelt den Abstand zwischen zwei Punkten in einer 2D-Ebene: Punkt 1 mit den Koordinaten (X₁, Y₁) und Punkt 2 mit den Koordinaten (X₂, Y₂). Um den Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Ebene zu ermitteln, geben Sie die Koordinaten der beiden Punkte (X₁, Y₁, X₂, Y₂) in die entsprechenden Felder ein und drücken Sie auf "Berechnen".

Der Rechner liefert die endgültige Antwort, den detaillierten Lösungsalgorithmus und die grafische Darstellung der Punkte in der Koordinatenebene. Außerdem ermittelt der Rechner die Steigung und den Winkel der Linie, die die beiden gegebenen Punkte verbindet, und bestimmt die entsprechende Geradengleichung.

3D-Entfernungsberechnung.

Dieser Rechner ermittelt den Abstand zwischen zwei Punkten in einem 3D-Raum: Punkt 1 mit den Koordinaten (X₁, Y₁, Z₁) und Punkt 2 mit den Koordinaten (X₂, Y₂, Z₂). Um den Abstand zwischen zwei Punkten in einem 3D-Raum zu berechnen, geben Sie die Koordinaten beider Punkte (X₁, Y₁, Z₁, X₂, Y₂, Z₂) in die entsprechenden Felder ein und drücken Sie "Berechnen". Der Rechner gibt die endgültige Antwort und den detaillierten Lösungsalgorithmus zurück. Um alle Felder zu leeren, drücken Sie auf "Löschen".

Entfernung zwischen Koordinaten Rechner - Entfernung basierend auf Breitengrad und Längengrad

Verwenden Sie diesen Rechner, um die Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Erdoberfläche zu ermitteln, wenn ihre Koordinaten (Breitengrad und Längengrad) bekannt sind. Der Rechner findet die Entfernung zwischen Punkt 1 mit Breitengrad 1 und Längengrad 1 und Punkt 2 mit Breitengrad 2 und Längengrad 2, basierend auf der Annahme, dass die Form der Erde als Ellipsoid angenähert werden kann. Für die Berechnungen werden die Lambertschen Formeln verwendet. Um diesen Rechner zu benutzen, geben Sie die angegebenen Werte für Breitengrad 1, Längengrad 1, Breitengrad 2 und Längengrad 2 in die entsprechenden Felder ein und drücken Sie auf "Berechnen". Der Rechner gibt die Entfernung zwischen den Punkten in Kilometern und Meilen aus.

Eingabewerte

Die Koordinaten können wie folgt eingegeben werden:

• Grad-Minuten-Sekunden-Format, gefolgt von einer Himmelsrichtung aus den Dropdown-Menüs - N(orth) oder S(outh) für Breitengrad und E(ast) oder W(est) für Längengrad. Dabei sollten Breitengrade durch Werte zwischen -90 und 90 und Längengrade durch Werte zwischen -180 und 180 repräsentiert werden.
• Dezimalzahlen ohne Himmelsrichtung. Das Vorzeichen der Werte gibt dann die Richtung an: Der Breitengrad ist im Norden (des Äquators) positiv, im Süden negativ, und der Längengrad ist im Osten (des Nullmeridians) positiv und im Westen negativ. Auch hier sollten die Breitengrade durch Werte zwischen -90 und 90 und die Längengrade durch Werte zwischen -180 und 180 repräsentiert werden. Um alle Felder zu leeren, drücken Sie auf "Löschen".

Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Karte Rechner

Dieser Rechner ermittelt auch die Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Erdoberfläche, wobei er von der Annahme ausgeht, dass die Form der Erde als Ellipsoid angenähert werden kann, und für die Berechnungen die Lambertschen Formeln verwendet.

Um diesen Rechner zu benutzen, wählen Sie zwei Punkte auf der mitgelieferten Karte aus. Der Rechner ermittelt automatisch die (dezimalen) Koordinaten der ausgewählten Punkte und berechnet die Entfernung in Kilometern und Meilen.

Alle Rechner akzeptieren ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Zahlen in e-Notation als Eingaben.

Formeln

In allen nachstehenden Formeln wird die Entfernung mit d angegeben.

2D-Abstandsformel

Der Abstand zwischen zwei Punkten mit den Koordinaten (X₁, Y₁) und (X₂, Y₂) auf einer zweidimensionalen Ebene wird mit Hilfe des Satzes von Pythagoras durch die folgende Formel berechnet:

$$d=\sqrt{(X₂ - X₁)²+(Y₂ - Y₁)²}$$

3D-Abstandsformel

Die obige Formel kann in drei Dimensionen extrapoliert werden, um den Abstand zwischen Punkt 1 mit den Koordinaten (X₁, Y₁, Z₁) und Punkt 2 mit den Koordinaten (X₂, Y₂, Z₂) wie folgt zu bestimmen:

$$d=\sqrt{(X₂ - X₁)²+(Y₂ - Y₁)²+(Z₂ - Z₁)²}$$

Berechnung der Entfernung auf der Grundlage von Längen- und Breitengraden

In diesem Abschnitt werden die folgenden Symbole verwendet: ϕ für Breitengrad und λ für Längengrad. Ein Punkt mit Breitengrad 1 und Längengrad 1 wird als (ϕ1, λ1) bezeichnet.

Um die Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Erdoberfläche zu berechnen, müssen wir die Entfernung entlang der Erdoberfläche berechnen. Daher müssen wir eine Näherung für die Form der Erdoberfläche wählen. Es gibt drei gängige Näherungen:

1. Flache Oberfläche. Diese Näherung funktioniert recht gut für kurze Entfernungen. In diesem Fall kann die 2D-Entfernungsformel verwendet werden. Es gibt mehrere weitere Näherungen, um die unterschiedlichen Entfernungen zwischen den Meridianen bei der Projektion der Erdoberfläche auf eine Ebene zu berücksichtigen.
2. Sphärische Oberfläche. Die Formel für diese Annäherung beruht auf der Annahme, dass die Erdoberfläche als Kugel angenähert werden kann. Mit Hilfe der sphärischen Trigonometrie wird dann eine präzisere Formel abgeleitet, die für große Entfernungen mit einer Genauigkeit von etwa 5 % verwendet werden kann. Diese Formel wird Großkreisentfernungsformel oder Haversinusformel genannt, weil sie mit Hilfe eines Haversinus - einer speziellen trigonometrischen Funktion - abgeleitet wurde. Ein Haversinus des Winkels θ ist wie folgt definiert: \$hav\ θ=\frac{(1-cosθ)}{2}\$. Und die Haversinus-Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten mit den Koordinaten (ϕ₁, λ₁) und (ϕ₂, λ₂) sieht wie folgt aus:

$$d=2r\ arcsin\sqrt{hav(φ₂-φ₁ )+(1-hav(φ₁-φ₂ )-hav(φ₁+φ₂ ))× hav(λ₂-λ₁)}$$

$$d=2r\ arcsin\left( \sqrt{(sin²\left( \frac{φ₂-φ₁}{2} \right)+cos\ φ₁×cos\ φ₂ × sin²\left( \frac{λ₂-λ₁}{2} \right)}\right)$$

Dabei ist r - der Radius der untersuchten Kugel (in unserem Fall der durchschnittliche Radius der Erde).

3. Ellipsoide Oberfläche. Diese Annäherung ist die genaueste, da die tatsächliche Form der Erde eher einem Ellipsoid als einer Kugel entspricht. Die kürzeste Linie (Bahn), die zwei Punkte auf der Oberfläche eines Ellipsoids verbindet, wird als Geodäte bezeichnet, und die Länge dieser Bahn wird mit den Lambertschen Formeln berechnet. Diese Formeln verwenden die reduzierten Breitengrade β₁ und β₂ anstelle von ϕ₁ und ϕ₂: tan β = (1 - f) × tan ϕ, wobei f - die Abplattung ist. Der Abstand wird wie folgt ermittelt:

d = a (σ - f/2(X + Y))

Dabei ist a - der äquatoriale Radius des Ellipsoids (in unserem Fall der Erde), σ - der zentrale Winkel zwischen Punkt 1 (β₁, λ₁) und Punkt 2 (β₂, λ₂) in Radiant. Dieser Winkel wird mit Hilfe der oben beschriebenen Haversinus-Formel berechnet, wobei angenommen wird, dass die Längengrade auf einer Kugel und einem entsprechenden Ellipsoid gleich sind. X und Y werden anhand der folgenden Formeln berechnet:

$$X=(σ-sinσ)\frac{sin²P\ cos²Q}{cos²\frac{σ}{2}}$$

$$Y=(σ-sinσ)\frac{cos²P\ sin²Q}{sin²\frac{σ}{2}}$$

wobei P = (β₁ + β₂)/2 und Q = (β₂ - β₁)/2

Anwendungen im wirklichen Leben

Wenn wir über Entfernungen sprechen, meinen wir in der Regel 2D- oder 3D-Entfernungen. Dazu gibt es verschiedene Beispiele: Der Abstand zwischen dem Ende der Warteschlange und dem Anfang der Warteschlange (bei einer geradlinigen Warteschlange). Die Länge der Piste, auf der Sie Ski fahren. Auch die Entfernung zwischen der Sonne und den Planeten des Sonnensystems.

Die geografische Länge und Breite, also die Entfernung zwischen den Punkten auf der Karte, wird sehr häufig zur Berechnung der Flugroute eines Flugzeugs verwendet, das von Punkt A nach Punkt B fliegt, denn ein Flugzeug, das von einem Ort zum anderen fliegt, bewegt sich entlang der ellipsoiden Oberfläche der Erde - genau die Situation, die durch die Lambertschen Formeln beschrieben wird!