KGV-Rechner

Mit diesem Online-KGV-Rechner können Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei oder mehr Zahlen ermitteln. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von allen gegebenen Zahlen ist. Ein Beispiel: Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3 wäre 6, da 6 die kleinste Zahl ist, die durch beide gegebenen Zahlen - 2 und 3 - gleichmäßig teilbar ist. Der Rechner demonstriert auch die detaillierten Lösungen für die Ermittlung der KGV (eng. LCM) mit verschiedenen Methoden: Auflistung der Vielfachen, Primfaktorzerlegung, Kuchen/Ladder, Divisionsmethode, GGT(eng. GCF)-Methode und Venn-Diagramm.

Bedienungsanleitung

• Um den KGV-Rechner zu verwenden, geben Sie die Zahlen ein und drücken Sie auf "Calculate"(Berechnen).
• Verwenden Sie Leerzeichen oder Kommas, um Ihre Zahlen zu trennen. Beachten Sie, dass Sie keine Kommas innerhalb einer Zahl verwenden können. Zum Beispiel sollten Sie eintausend als 1000 schreiben, nicht als 1.000. Der Taschenrechner zeigt sofort das kleinste gemeinsame Vielfache der eingegebenen Zahlen an.
• Um eine detaillierte Lösung anzuzeigen, wählen Sie die Lösungsmethode aus dem Dropdown-Menü und drücken Sie auf "Calculate"(Berechnen).
• Wenn Sie die Lösungsschritte für eine andere Methode sehen möchten, treffen Sie die entsprechende Auswahl im Dropdown-Menü und drücken Sie erneut "Calculate"(Berechnen).

Berechnungsalgorithmen

Multiples auflisten

Der einfachste Weg, das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen zu finden, besteht darin, Listen von Vielfachen für jede gegebene Zahl aufzuschreiben, bis eines der Vielfachen auf allen Listen erscheint. Dieses Vielfache ist dann LCM.

Lassen Sie uns zum Beispiel KGV von 5 und 7 oder KGV (5, 7) finden:

Vielfache von 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, usw.

Vielfache von 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, usw.

35 ist das erste Vielfache, das in beiden Listen vorkommt; daher ist KGV -> LCM (5, 7) = 35.

Primfaktorzerlegung

Um die KGV mehrerer Zahlen durch Primfaktorzerlegung zu ermitteln, folgen Sie den nachstehenden Schritten:

1. Schreiben Sie die Primfaktoren der einzelnen Zahlen auf.
2. Schreiben Sie die Primfaktorzerlegung jeder Zahl in der Exponentenform auf (zum Beispiel wäre 2 × 2 × 2 gleich 2³).
3. Multiplizieren Sie die höchsten Potenzen aller Primfaktoren.
4. Die resultierende Zahl wäre die KGV der angegebenen Zahlen.

Beachten Sie, dass Sie KGV auch finden können, ohne die Primfaktorzerlegung in der Exponentenform auszudrücken. In diesem Fall ersetzen Sie Schritt 3, indem Sie jeden Primfaktor so oft multiplizieren, wie er für eine bestimmte Zahl vorkommt.

Lassen Sie uns zum Beispiel die KGV von 3, 12, 40 finden, KGV -> LCM (3, 12, 40):

1. Finden Sie die Primfaktoren jeder Zahl.

Primfaktoren von 3: 3 ist primär.

Primfaktoren von 12: 2 × 2 × 3

Primfaktoren von 40: 2 × 2 × 2 × 5

2. Schreiben der Primfaktorzerlegung in Exponentenform.

3 = 3¹

12 = 2² × 3

40 = 2³ × 5¹

3. Multiplikation der höchsten Potenzen aller Primfaktoren.

2³ × 3¹ × 5¹ = 120

4. LCM (3, 12, 40) = 120

Ohne die Exponentenform würde Schritt 3 zu 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120 werden.

Der KGV-Rechner zeigt Ihnen beide Optionen für den Lösungsalgorithmus der Primfaktorzerlegung.

Torte/Leiter

Diese Methode hat ihren Namen, weil der resultierende Lösungsalgorithmus einer Torte (oder einer Leiter!) ähnelt. Schauen wir uns diesen Algorithmus gleich anhand eines Beispiels an und finden die KGV von 12, 15 und 24.

1. Schreiben Sie zunächst die angegebenen Zahlen nebeneinander und zeichnen Sie eine "Leiterstufe" oder eine "Kuchenschicht" um sie herum, etwa so:

2. Finden Sie eine Zahl, durch die mindestens zwei der angegebenen Zahlen gleichmäßig geteilt werden können. Schreiben Sie sie links neben die angegebene Zahl und führen Sie die Division durch. Notieren Sie die Ergebnisse der Division in der folgenden "Kuchenschicht". Wenn eine der Zahlen nicht teilbar ist, behalten Sie sie.

Nehmen wir 2 als erste Zahl in unserem Beispiel, da sowohl 12 als auch 24 durch 2 teilbar sind. Wir erhalten das folgende Bild:

3. Wiederholen Sie Schritt 2 so lange, bis es keine Zahlen mehr gibt, die zwei der angegebenen Zahlen gleichmäßig teilen können:

4. Die KGV (eng. LCM) der angegebenen Zahlen ist das Produkt der Zahlen aus der linken Spalte und der unteren Zeile. In unserem Fall:

LCM (12, 15, 24) = 2 × 2 × 3 × 1 × 5 × 2 = 120

Division Methode

Die Divisionsmethode ist der Kuchen-/Leitermethode sehr ähnlich. Allerdings führen Sie hier so lange Divisionen durch, wie eine der angegebenen Zahlen durch eine Primzahl teilbar ist. Die unterste Zeile besteht dann nur aus Einsen und Sie können die LCM durch Multiplikation aller Zahlen aus der linken Spalte ermitteln. Wenn wir uns das vorherige Beispiel für die Ermittlung der KGV - LCM (12, 15, 24) ansehen, sieht die Divisionstabelle wie folgt aus:

2	12	15	24
2	6	15	12
2	3	15	6
3	3	15	3
5	1	5	1
	1	1	1

Und schließlich, LCM (12, 15, 24) = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120

GGT (eng. GCF) -Methode

Um die KGV von zwei Zahlen mit Hilfe von GGT (eng.GCF) zu ermitteln, verwenden Sie die folgende Formel:

LCM (x, y) = (x × y) / GCF (x, y)

Sie sollten die obige Formel iterieren, um die KGV (eng. LCM) von mehr als zwei Zahlen zu ermitteln. Zum Beispiel kann die LCM von drei Zahlen wie folgt ermittelt werden:

LCM (x, y, z) = LCM (LCM (x, y), z)

Lassen Sie uns zum Beispiel die LCM von 6 und 8 finden. Die GGT (eng.GCF) (6, 8) ist 2. Daher,

LCM (6, 8) = (6 × 8)/2 = 48/2 = 24

Mengendiagramm

Um die KGV (eng. LCM) mithilfe von Venn-Diagrammen zu ermitteln, müssen Sie zunächst die Primfaktoren jeder Zahl identifizieren. Dann müssen Sie diese Faktoren auf der Grundlage ihrer Zugehörigkeit zu zwei oder drei der gegebenen Zahlen gruppieren und in ein Venn-Diagramm einzeichnen. Für LCM (12, 15, 24) wird das Diagramm wie folgt aussehen:

Beachten Sie, dass der Online-Rechner die Lösung des Venn-Diagramms nur für 2 oder 3 Zahlen anzeigt.

Berechnungsbeispiel

Mike und Lina nehmen beide Karateunterricht. Ihre Zeitpläne sind jedoch unterschiedlich: Mike geht alle 5 Tage, während Lina alle 3 Tage geht. Heute haben sie den Unterricht gemeinsam besucht. Wie viele Tage werden vergehen, bis sie wieder gemeinsam einen Kurs besuchen?

Lösung

Um dieses Problem zu lösen, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache von 5 und 3 finden, LCM (5, 3). Wir machen das mit Hilfe der Primfaktorisierungsmethode.

3 ist eine Primzahl, also 3 = 3¹

5 ist auch Primzahl, also 5 = 5¹

LCM (5, 3) = 3¹ × 5¹ = 15

Antwort

Mike und Lina werden in 15 Tagen gemeinsam zu einer Karatestunde gehen.