Kombinationsrechner

In der Mathematik gibt es verschiedene Strategien zur Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, Objekte aus einer gegebenen Menge auszuwählen. Auf wie viele Arten können wir r Ergebnisse aus n Möglichkeiten auswählen? Das hängt davon ab, ob die Reihenfolge wichtig ist oder nicht und ob sich die Werte wiederholen können oder nicht.

Die Anzahl der Möglichkeiten, r ungeordnete Ergebnisse aus n Möglichkeiten auszuwählen, wird als Kombination bezeichnet und als C (n, r) geschrieben. Er ist auch als Binomialkoeffizient bekannt. Mit diesem Rechner können Sie die Kombination von r Objekten aus einer Menge von n Objekten berechnen.

Die Regeln für die Verwendung des Kombinationsrechners

Für eine gegebene Menge von Objekten gibt es eine bestimmte Anzahl von Möglichkeiten, einige oder alle von ihnen nach einer bestimmten Reihenfolge oder Spezifikation anzuordnen oder auszuwählen. Der Rechner berechnet die Anzahl der Möglichkeiten zur Auswahl von r Objekten aus einer Menge von n Objekten ohne Wiederholung und wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt. Der Rechner benötigt zwei Eingaben:

• n = Anzahl der verschiedenen Objekte, aus denen gewählt werden kann, und
• r = Anzahl der zu besetzenden Stellen.

Ein wesentliches Kriterium für die Eingabe von Daten in den Kombinationsrechner ist, dass

$$0 ≤ r ≤ n$$

Wenn Sie eine Zahl r eingeben, die größer als n ist, wird eine Meldung ausgegeben

"Bitte geben Sie 0 ≤ r ≤ n ein".

Das Grundprinzip des Zählens

Das Grundprinzip des Zählens hilft uns dabei, Wege zu finden, um verschiedene Aufgaben zu bewältigen. Es gibt zwei grundlegende Regeln des Zählens.

Die Regel der Summe

Die erste Aufgabe kann auf m Arten erledigt werden, die zweite Aufgabe auf n Arten. Wenn die Aufgaben nicht gleichzeitig erledigt werden können, kann die Anzahl der möglichen Wege als (m + n) gezählt werden.

Die Regel der Produkte

Die erste Aufgabe kann auf m Arten erledigt werden und die zweite Aufgabe auf n Arten. Wenn beide Aufgaben gleichzeitig erledigt werden können, dann gibt es (m × n) Möglichkeiten, sie auszuführen.

Beispiele

In der Cafeteria werden 3 Arten von Kuchen und 4 Arten von Getränken verkauft. Darunter sind Apfelkuchen, Erdbeerkuchen und Blaubeerkuchen. Und Orangen-, Trauben-, Kirsch- und Ananassaft. Beide Getränke und Kuchen werden für 2 $ verkauft. Du hast nur 2 $ dabei und keinen Cent mehr. Sie haben also 3 + 4 = 7 Möglichkeiten, eine bestimmte Wahl zu treffen.

Angenommen, Sie wollen die Anzahl der Möglichkeiten zählen, eine Münze zu werfen und einen Würfel zu werfen. Die Anzahl der Möglichkeiten, eine Münze zu werfen, ist 2, da eine Münze 2 Seiten hat. Ebenso gibt es 6 Möglichkeiten, wie man einen Würfel werfen kann. Da man beide Aufgaben gleichzeitig lösen kann, gibt es also 2 × 6 = 12 Möglichkeiten, eine Münze zu werfen und einen Würfel zu werfen.

Wenn man 2 Karten aus einem Stapel von 52 Karten ziehen möchte, ohne sie zu ersetzen, gibt es 52 Möglichkeiten, die erste Karte zu ziehen, und 51 Möglichkeiten, die zweite Karte zu ziehen. Die Anzahl der Möglichkeiten, zwei Karten zu ziehen, beträgt also 52 × 51 = 2.652.

Musterräume

Ein Stichprobenraum ist eine Auflistung aller möglichen Ergebnisse und wird mit dem Großbuchstaben S bezeichnet. Der Stichprobenraum für das gleichzeitige Werfen einer Münze und eines Würfels ist

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

Es gibt zwölf mögliche Wege. Die Zählprinzipien ermöglichen es uns, die Anzahl der Möglichkeiten des Experimentierens herauszufinden, ohne sie alle aufzählen zu müssen.

Kombination

Die Anzahl der Möglichkeiten, r sich nicht wiederholende Ergebnisse aus n Möglichkeiten auszuwählen, wenn die Reihenfolge irrelevant ist, wird als Kombination bezeichnet. Die Kombination von Objekten wird als C (n, r) geschrieben. Sie ist auch als Binomialkoeffizient bekannt. Die Kombinationsformel ist definiert als

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Das Zeichen ! nach einer Zahl oder einem Buchstaben bedeutet, dass wir die Fakultät einer Zahl verwenden. Zum Beispiel ist n! die Fakultät der Zahl n - oder das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n. Die Fakultät der Zahl 2 ist 1 × 2. Die Fakultät der Zahl 3 ist 1 × 2 × 3. Die Fakultät der Zahl 4 ist 1 × 2 × 3 × 4. Die Fakultät der Zahl 5 ist 1 × 2 × 3 × 4 × 5 und so weiter. Die Fakultät kann nur für nichtnegative ganze Zahlen berechnet werden.

Ein wesentliches Merkmal der Berechnung der Kombination mit dieser Formel ist, dass die Wiederholung von Objekten nicht erlaubt ist und die Reihenfolge der Anordnung keine Rolle spielt.

Beispiel 1

Angenommen, Sie haben eine Menge von vier Zahlen

{1, 2, 3, 4}

Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Elemente aus dieser Menge zu kombinieren, wenn das gleiche Element nicht in einem Paar wiederholt werden kann?

Wenn die Reihenfolge der Elemente eine Rolle spielt, erhalten wir Gruppen, die durch Permutationen gebildet werden:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt, erhalten wir Gruppen, die durch Kombinationen gebildet werden:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Es gibt 6 mögliche Kombinationen. Du kannst die Formel benutzen, um die Anzahl aller möglichen Kombinationen zu finden. Für dieses Beispiel gilt: $n=4$, $r=2$. Daraus folgt,

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

Das ist genau das, was der Kombinationsrechner errechnet.

Beispiel 2

Wie lauten die Kombinationen der Buchstaben A, B, C und D in einer Gruppe von 3? Es gibt 24 mögliche Permutationen, wenn die Reihenfolge wichtig ist. Bei der kombinatorischen Zählung ist die Reihenfolge irrelevant. Daher ist nur die erste Zeile relevant, d. h. es gibt 4 mögliche Kombinationen.

ABC	ABD	ACD	BCD
ACB	ADB	ADC	BDC
BAC	BAD	CAD	CBD
BCA	BDA	CDA	CDB
CAB	DAB	DAC	DBC
CBA	DBA	DCA	DCB

Anstatt alle möglichen Anordnungen aufzulisten, können wir die Anzahl der möglichen Anordnungen (bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt) mit Hilfe der obigen Kombinationsformel berechnen. In diesem Fall gibt es n=4 Objekte, und Sie nehmen jeweils r=3. Daraus folgt,

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Permutation

Die Permutation definiert die Anzahl der Möglichkeiten, Objekte zu organisieren, wenn die Reihenfolge der Objekte wichtig ist. Die Formel für die Permutation bei der Auswahl von r Objekten aus einer Liste von n Objekten lautet wie folgt:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Die beiden Hauptmerkmale der Berechnung von Permutationen mit dieser Formel sind, dass die Wiederholung von Objekten nicht erlaubt ist und dass die Reihenfolge der Objekte wichtig ist.

Beispiel 3

Angenommen, es gibt 4 Bewerber in einem Vorstellungsgespräch. Die Aufgabe des Auswahlausschusses ist es, die Bewerber in eine Rangfolge von 1 bis 4 zu bringen. Hier sind die Möglichkeiten:

• 1. Kandidat - es gibt 4 Möglichkeiten der Auswahl
• 2. Kandidat - es gibt 3 Möglichkeiten der Auswahl
• 3. Kandidat - es gibt 2 Möglichkeiten der Auswahl
• 4. Kandidat - es gibt nur eine Möglichkeit der Auswahl

Die Produktregel gibt die Gesamtzahl der Auswahlmöglichkeiten an, d. h. 4 × 3 × 2 × 1 = 24, was dasselbe ist wie 4!. Angenommen, die Kandidaten sind

{A, B, C, D}

Der Beispielraum des Problems, der alle möglichen Permutationen zeigt, ist unten dargestellt:

A auf Platz 1	B auf Platz 1	C auf Platz 1	D auf Platz 1
ABCD	BACD	CABD	DABC
ABDC	BADC	CADB	DACB
ACBD	BCAD	CBAD	DBAC
ACDB	BCDA	CBDA	DBCA
ADBC	BDAC	CDAB	DCAB
ADCB	BDCA	CDBA	DCBA

Anstatt alle möglichen Anordnungen wie in der obigen Tabelle aufzulisten, kann man die Anzahl der möglichen Anordnungen mit Hilfe der Permutationsformel berechnen. Für das obige Beispiel gibt es n = 4 Objekte, und man nimmt r = 4 Elemente auf einmal. Daraus folgt,

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

Der Unterschied zwischen Kombinationen und Permutationen

Der Hauptunterschied zwischen Kombinationen und Permutationen besteht darin, dass bei Kombinationen die Reihenfolge der Elemente nicht wichtig ist, während bei Permutationen die Reihenfolge der Elemente wichtig ist.