Quadratwurzel-Rechner

Mit diesem Rechner können Sie die Quadratwurzel der eingegebenen Zahl ermitteln. Die eingegebenen Zahlen können positiv oder negativ sein, und der Wurzelrechner ermittelt die Hauptquadratwurzel der Zahl und die entgegengesetzte Wurzel.

Gebrauchsanweisung

Um den Quadratwurzelrechner zu verwenden, geben Sie die angegebene Zahl ein und drücken Sie auf "Berechnen". Der Rechner gibt die Hauptquadratwurzel der Zahl und die entgegengesetzte (negative) Quadratwurzel zurück. Es wird auch angezeigt, ob die eingegebene Zahl ein perfektes Quadrat ist.

Quadrate und Quadratwurzeln

Quadrate

Das Quadrat einer bestimmten Zahl ist die mit sich selbst multiplizierte Zahl. Zum Beispiel: 3 × 3 = 9, was bedeutet, dass das Quadrat von 3 gleich 9 ist, oder drei zum Quadrat gleich 9. Das Quadrat einer Zahl wird gewöhnlich wie folgt geschrieben: x². Wenn also x = 3 ist, kann die vorherige Gleichung als 3² = 9 geschrieben werden. Im Folgenden werden einige Beispiele für Quadrate verschiedener Zahlen vorgestellt:

Zahl	Quadrat
2	4
3	9
4	16
5	25
0,1	0,01
12	144

Betrachte negative Zahlen und finde (-3)². (-3)² = (-3) × (-3) = 9, da die Multiplikation zweier negativer Vorzeichen das positive Vorzeichen ergibt. Daher ist (-3)² = 3² = 9.

Perfekte Quadrate

Ein perfektes Quadrat ist ein Quadrat einer ganzen Zahl; zum Beispiel sind 4, 9, 16 und 25 alles perfekte Quadrate. Nachfolgend sind die perfekten Quadrate der ersten ganzen Zahlen aufgeführt. Es ist nützlich, sie sich zu merken.

Zahl	Quadrat
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81
10	100
11	121
12	144

Wenn die Quadratwurzel einer Zahl eine ganze Zahl ist, handelt es sich folglich um ein perfektes Quadrat. Der Rechner auf dieser Seite zeigt an, ob die eingegebene Zahl ein perfektes Quadrat ist.

Quadratwurzeln

Die Quadratwurzel einer Zahl ist ein Wert, der, wenn er mit sich selbst multipliziert wird, die ursprüngliche Zahl ergibt. Die Quadratwurzeln von 9 sind zum Beispiel 3 und -3, da 3 × 3 = 9 und (-3) × (-3) = 9, also (-3)² = 3² = 9. In ähnlicher Weise sind die Quadratwurzeln von 16 4 und -4, und so weiter. Jede Zahl (außer 0) hat zwei Quadratwurzeln - positive und negative Quadratwurzeln.

Die positive Quadratwurzel einer Zahl wird als Hauptquadratwurzel bezeichnet; wenn nicht angegeben ist, welche Quadratwurzel berechnet werden muss, wird in der Regel die Hauptwurzel angenommen. Bei der Frage "Was ist die Quadratwurzel aus 36?" wird beispielsweise nur nach EINER Quadratwurzel gefragt, also wird nur die Hauptwurzel berücksichtigt, und die Antwort lautet "6".

Das Quadratwurzel-Symbol

Das Quadratwurzelsymbol wird als Radikal bezeichnet und wie folgt dargestellt: √. Um die Quadratwurzel aus 16 mathematisch darzustellen, schreiben wir also √16.

Nach einer strengen mathematischen Definition muss es für jede Funktion f(x, y) für jeden Wert von x einen eindeutigen Wert von y geben. Angenommen, wir haben eine Funktion, bei der y gleich der Quadratwurzel von x ist. Dann gäbe es für jeden Wert von x zwei Werte von y - eine positive und eine negative Quadratwurzel. Das widerspricht der mathematischen Definition einer Funktion! Um dieses Problem zu umgehen, haben die Mathematiker das Radikalsymbol √ nur der Hauptwurzel zugeordnet.

Das bedeutet, dass die Quadratwurzeln von 16 zwar 4 und -4 sind, aber mathematisch gesehen √16 = 4. Dies muss beim Lösen von mathematischen Gleichungen berücksichtigt werden. Jede Gleichung des Typs y² = x hat zwei Lösungen, die als y = √x und y = -√x oder y = ±√x geschrieben werden.

Quadratwurzeln von negativen Zahlen

Im obigen Abschnitt haben wir gezeigt, dass das Quadrat einer beliebigen reellen Zahl immer positiv ist. Wenn die Zahl positiv ist, ist auch ihr Quadrat positiv. Und wenn eine Zahl negativ ist, ist ihr Quadrat trotzdem positiv, da die Multiplikation zweier negativer Vorzeichen ein positives Vorzeichen ergibt.

Stellen wir uns nun vor, dass es eine Zahl gibt, die beim Quadrieren ein negatives Ergebnis ergibt. Zahlen, die bei der Quadrierung ein negatives Ergebnis liefern, werden imaginäre Zahlen genannt. Die grundlegende imaginäre Zahl ist i, definiert als:

i² = -1

oder

i = √(-1)

Versuchen wir, die Quadratwurzeln von (-4) zu finden:

√(-4) = √(4 × (-1)) = √4 × √(-1) =2 × i = 2i

Die wichtigste Quadratwurzel aus (-4) ist 2i. Und wenn wir die entgegengesetzte Quadratwurzel von 4 (-√4 = -2) in der obigen Gleichung berücksichtigen, erhalten wir auch die entgegengesetzte Lösung: -2i.

Wie man die Quadratwurzel aus einer Zahl findet

Die Berechnung von Quadratwurzeln aus perfekten Quadraten ist relativ einfach. Aber die Berechnung von Quadratwurzeln aus Dezimalzahlen oder ganzen Zahlen, die keine perfekten Quadrate sind, kann schwierig sein. Auf dieser Seite werden mehrere Möglichkeiten zur Berechnung von Quadratwurzeln erläutert, darunter eine Berechnungsmethode, mit der man die genaue Quadratwurzel einer beliebigen Zahl ermitteln kann.

Anwendung im wirklichen Leben

John plant, eine Einzimmerwohnung zu mieten. Er hat eine Anzeige für ein Studio mit einer Fläche von 20,25 Quadratmetern gefunden. Wie kann er die Länge der Studiowände schätzen, um sich die Größe der Wohnung besser vorstellen zu können?

Lösung

In der Immobilienbranche werden die Größen von Wohnungen, Häusern und Grundstücken in der Regel in Quadratmetern angegeben. Einige Angebote geben auch die entsprechenden Längen an, viele jedoch nicht. Es kann schwierig sein, sich die Größe eines Raums vorzustellen, wenn man nur die Quadratmeter der Fläche betrachtet. Aber wenn wir uns die Gesamtfläche als ein Quadrat mit einer bestimmten Seitenlänge vorstellen, haben wir eine bessere Vorstellung davon, wie groß der Ort ist. Dazu müssen wir die Quadratwurzel aus der Gesamtfläche ziehen:

√20,25 = 4,5

Beachten Sie, dass es hier um die physische Größe einer Wohnung geht. Daher benötigen wir nur die Hauptwurzel.

Interessant ist auch, dass die Extraktion von Quadratwurzeln mit Dimensionen funktioniert! In diesem Beispiel wurde die Gesamtfläche in Quadratmetern (m²) gemessen. Wenn wir die Länge einer Wand bestimmen, ziehen wir technisch gesehen eine Quadratwurzel aus 20,25 m²:

√(20,25 m²) = √20,25 √(m²) = 4,5 m

Antwort

Ein Studio mit einer Fläche von 20,25 Quadratmetern kann man sich als quadratischen Raum vorstellen, bei dem jede Wand 4,5 Meter lang ist.