Signifikanzzahlen-Rechner

Dieser Rechner rundet die angegebene Zahl auf die erforderliche Anzahl signifikanter Zahlen, wobei die "Restzahlen" durch Nullen ersetzt werden. Wenn Sie zum Beispiel 11 auf eine signifikante Zahl runden, erhalten Sie 10 als Antwort.

Bedeutende Ziffern

Bedeutende Ziffern in einem numerischen Wert repräsentieren die Zahlen, die zur Genauigkeit des Wertes beitragen. Dies umfasst alle Nicht-Null-Ziffern, jegliche Nullen zwischen Nicht-Null-Ziffern und nachfolgende Nullen in einer Dezimalzahl. Zum Beispiel sind in 103,00 alle fünf Ziffern bedeutend: die '1' und '3' als Nicht-Null-Ziffern, die '0'en, da sie zwischen Nicht-Null-Ziffern stehen, und die letzte '0', weil es eine nachfolgende Null in einer Dezimalzahl ist. Anführende Nullen, wie die in 0,0025, sind nicht bedeutend, da sie nur die Position des Dezimalpunkts anzeigen.

Das Konzept der bedeutenden Ziffern ist entscheidend in wissenschaftlichen, technischen und mathematischen Berechnungen, da es die Genauigkeit von Messungen und Berechnungen widerspiegelt. Bei der Durchführung von Berechnungen stellt die Beibehaltung der richtigen Anzahl an bedeutenden Ziffern sicher, dass die Präzision der Ergebnisse weder künstlich erhöht noch reduziert wird. Dieses Prinzip ist entscheidend, um die Zuverlässigkeit von Daten auszudrücken und um aussagekräftige Vergleiche zwischen verschiedenen Messungen zu ermöglichen.

Gebrauchsanweisung

Um diese Rundungsfunktion für signifikante Zahlen zu verwenden, geben Sie die angegebene Zahl und die erforderliche Anzahl signifikanter Zahlen ein und drücken dann auf "Berechnen". Die angegebene Zahl kann aus bis zu 30 Symbolen bestehen. Sie können die Zahlennotation, die wissenschaftliche Notation oder die E-Notation als Eingabe verwenden. Sie können auch Kommas verwenden, um Tausender zu trennen, aber das ist nicht notwendig. Einige Beispiele für akzeptierte Eingaben:

• 150987
• 3.000.000
• 2,456e7
• -7,5 x 10^3

Die Anzahl der signifikanten Stellen sollte kleiner als 16 sein, d.h. 15 ist die größte Anzahl signifikanter Stellen, auf die dieser Rechner runden kann.

Rundung signifikanter Zahlen

Definieren wir zunächst "Rundung". Unter Runden versteht man das Umschreiben einer Zahl in eine einfachere Form, wobei der Wert nahe am ursprünglichen Wert bleibt. Zum Beispiel kann 1001 auf 1000 gerundet werden. Und 6,999999 kann auf 7 gerundet werden. Die resultierende Zahl ist (etwas) ungenauer als die ursprüngliche, aber sie ist viel einfacher auszusprechen und aufzuschreiben.

Nun zu den signifikanten Zahlen. Die Anzahl der signifikanten Zahlen ist im Grunde die Anzahl der Ziffern, die in einer Zahl enthalten sind. Alle anderen Zahlen werden in Nullen umgewandelt.

Algorithmus zum Runden von Zahlen

Beim Runden einer Zahl geht es im Wesentlichen darum, eine Zahl mit weniger Ziffern zu finden, deren Wert nahe am Wert der ursprünglichen Zahl liegt. Es ist zum Beispiel intuitiv klar, dass 6,1 auf 6 abgerundet wird, da sie "näher" an 6 als an 7 liegt. 6,2, 6,3 und 6,4 werden alle auf 6 abgerundet. 6,9 hingegen wird auf 7 aufgerundet, da sie näher an 7 als an 6 liegt. Dasselbe gilt für 6,8, 6,7 und 6,6. Aber was machen wir mit 6,5? Sie liegt genau in der Mitte zwischen 6 und 7. Es gibt mehrere verschiedene Rundungsregeln. Hier werden wir die gängigste Methode besprechen. Bei der gebräuchlichsten Rundungsmethode wird 5 "aufgerundet", also wird 6,5 auf 7 aufgerundet. Der Algorithmus zum Runden von Zahlen besteht in diesem Fall aus den folgenden Schritten:

1. Bestimmen Sie die Anzahl der signifikanten Zahlen, die Sie beibehalten wollen.
2. Schauen Sie sich die letzte Ziffer an, die Sie behalten. Wenn die nächste Ziffer kleiner als 5 ist, behalten Sie die letzte Ziffer bei; wenn die nächste Ziffer größer oder gleich 5 ist, erhöhen Sie die letzte signifikante Ziffer um 1.

Runden Sie zum Beispiel jede Zahl auf zwei signifikante Stellen: 1015 und 876. Beginnen wir mit 1015:

1. Wir wollen auf 2 signifikante Ziffern runden, also ist die letzte Ziffer, die wir behalten (und nicht zu 0 machen), Null: 1015 - hier behalten wir die fettgedruckten Ziffern bei und machen die anderen zu Null.
2. Schauen wir uns die Ziffer nach der Null an - es ist die Eins. 1 ist kleiner als 5. Daher bleibt die letzte signifikante Ziffer gleich. Die Zahl wird zu \$1\bar{0}00\$. Die horizontale Linie über der zweiten Ziffer zeigt an, dass diese Zahl auf die zweite signifikante Ziffer gerundet wird.

Schauen wir uns nun 876 an:

1. Die letzte Ziffer, die wir behalten, ist 7, und die zweite Ziffer der Zahl ist 876 - auch hier behalten wir die fettgedruckten Ziffern und machen den Rest zu Nullen.
2. Die nächste Ziffer nach 7 ist 6. 6 ist größer als 5. Daher müssen wir zur letzten erhaltenen Ziffer 1 addieren: 7 + 1 = 8. Die endgültige Zahl ist \$8\bar{8}0\$. Auch hier wird der horizontale Balken über der zweiten Ziffer hinzugefügt, um zu zeigen, dass die Zahl auf die zweite signifikante Ziffer gerundet wurde.

Rundung von Dezimalzahlen

Der Algorithmus für die Rundung von Dezimalzahlen ist derselbe wie für die Rundung ganzer Zahlen. Es ist wichtig zu beachten, dass führende Nullen keine signifikanten Zahlen sind. Daher werden sie bei der Wahl der letzten erhaltenen Ziffer nicht berücksichtigt. Runden Sie zum Beispiel jede Zahl auf drei signifikante Stellen: 9.05675, 0.01234.

Wir beginnen mit 9,05675 und erhalten:

1. Wir wollen auf drei signifikante Ziffern runden, also ist die letzte Ziffer, die wir behalten, 5: 9,05675, wobei wir nur die fetten Ziffern behalten.
2. Die Ziffer nach der 5 ist eine 6. 6 ist größer als 5. Daher muss die letzte signifikante Ziffer um 1 erhöht werden: 5 + 1 = 6. Die endgültige Zahl ist 9,06000. Anders als bei ganzen Zahlen ändern die nachgestellten Nullen den Wert der endgültigen Antwort nicht. Sie können daher gestrichen werden. Die endgültige Antwort lautet 9,06.

Betrachten wir nun 0,01234:

1. Wir wollen auf 3 signifikante Stellen runden. Daher ist die letzte Ziffer, die wir behalten, 3. Beachten Sie, dass die ersten Nullen keine signifikanten Zahlen sind: 0,01234, wobei wir nur die fettgedruckten Ziffern behalten.
2. Die Ziffer nach 3 ist 4. 4 ist kleiner als 5. Daher ändert sich die letzte Ziffer nicht; die endgültige Zahl ist 0,01230, oder 0,0123.

Berechnungsbeispiel

Stellen Sie sich vor, Sie kaufen in einem Geschäft ein Kleid, das 15 $ + Einkommensteuer kostet. Die Einkommenssteuer beträgt 6,25 %. Nun wollen Sie natürlich den Endpreis des Kleides berechnen. Dazu berechnen Sie zunächst den Wert von 6,25 % wie folgt:

6,25% von 15 = (15/100) × 6,25 = 0,15 × 6,25 = 0,9375

Dann berechnen Sie den Endpreis des Kleides:

Endpreis = 15 + 0,9375 = 15,9375

Da ein Hundertstel eines Dollars die kleinste Einheit ist, die wir verwenden können, runden wir die resultierende Zahl auf zwei Stellen hinter dem Komma auf.

In diesem Fall ist das Runden auf Hundertstel dasselbe wie das Runden auf 4 signifikante Stellen. (Beachten Sie, dass Sie möglicherweise eine andere Anzahl von signifikanten Zahlen benötigen, um eine andere Zahl auf Hundertstel zu runden. Um zum Beispiel 5,6325 auf Hundertstel zu runden, würden Sie 3 signifikante Stellen verwenden, während Sie zum Runden von 132,125 auf Hundertstel 5 signifikante Stellen verwenden würden).

Rundet man 15,9375 auf 4 signifikante Zahlen, erhält man:

1. Die letzte Ziffer, die wir behalten, ist 3: 15,9375.
2. Die Ziffer nach 3 ist 7. 7 ist größer als 5. Daher muss die letzte Ziffer um 1 erhöht werden: 3 + 1 = 4. Die gerundete Zahl ist 15,94. Das heißt, wenn Sie das Kleid mit 20 Dollar bezahlen, erhalten Sie $(20 - 15,94) = 4,06 als Wechselgeld.