Wahrscheinlichkeitsrechner

Rechner für die Wahrscheinlichkeit von zwei Ereignissen

Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit von zwei unabhängigen Ereignissen kennen, können Sie den Rechner für die Wahrscheinlichkeit von zwei Ereignissen verwenden, um deren gemeinsames Auftreten zu bestimmen. Sie müssen die Wahrscheinlichkeiten von zwei unabhängigen Ereignissen als die Wahrscheinlichkeit von a und b in den Rechner eingeben. Dann zeigt der Rechner die Vereinigungs-, Schnittpunkt- und andere verwandte Wahrscheinlichkeiten von zwei unabhängigen Ereignissen zusammen mit den Venn-Diagrammen an.

Wahrscheinlichkeitslöser für zwei Ereignisse

Sie können die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ereignisse von zwei unabhängigen Ereignissen berechnen, wenn Sie zwei beliebige Eingabewerte des Probability Solver for Two Events Calculator kennen. Dies ist wichtig, wenn Sie eine oder beide Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen nicht kennen. In den Ergebnissen wird die Antwort mit den Berechnungsschritten angezeigt.

Wahrscheinlichkeit einer Reihe von unabhängigen Ereignissen

Sie können den Rechner für die Wahrscheinlichkeit einer Reihe unabhängiger Ereignisse verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, wenn jedes Experiment zwei unabhängige Ereignisse enthält, die nacheinander eintreten. In diesem Rechner müssen Sie angeben, wie oft das Ereignis eintritt.

Wahrscheinlichkeit einer Normalverteilung

Der Normalverteilungs-Wahrscheinlichkeitsrechner ist hilfreich bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit einer Normalkurve. Sie müssen den Mittelwert μ, die Standardabweichung σ und die Grenzen eingeben. Der Normalwahrscheinlichkeitsrechner generiert die Wahrscheinlichkeit der festgelegten Grenzen und die Konfidenzintervalle für eine Reihe von Konfidenzniveaus.

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeit ist die Chance, dass ein Ereignis eintritt. Wenn ein Ereignis zweifelsfrei eintritt, ist seine Wahrscheinlichkeit 1. Wenn ein Ereignis nicht eintritt, ist seine Wahrscheinlichkeit 0. Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses liegt also immer zwischen 0 und 1. Der Wahrscheinlichkeitsrechner macht die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse unglaublich einfach.

Regeln für Ereignisabläufe

Jede Gruppierung der Ergebnisse eines Experiments wird als Ereignis bezeichnet. Es handelt sich um ein Ereignis, das eine beliebige Teilmenge des Stichprobenraums sein kann. Das Komplement, die Schnittmenge und die Vereinigung können als Regeln für Ereignisoperationen identifiziert werden. Lernen wir jede dieser Regeln anhand des folgenden Beispiels kennen.

Beispiel

Ihre Hochschule verfügt über verschiedene Fakultäten, darunter auch eine Wirtschaftsfakultät. Auch internationale Studierende sind an dieser Hochschule eingeschrieben. Im Rahmen Ihres Projekts müssen Sie Interviews mit den Studierenden Ihrer Hochschule führen. Sie entscheiden sich, mit dem ersten Studenten zu beginnen, der durch das Tor kommt. Sie sind sich der folgenden Wahrscheinlichkeiten bewusst. Sagen wir,

A = Der erste Student kommt von der Fakultät für Wirtschaftswissenschaften.

B = Der erste Student ist ein internationaler Student.

P(A) = 0,6

P(B) = 0,3

Ein Ereignis ergänzen

Das Komplement eines Ereignisses ist die Menge aller Ergebnisse in einem Stichprobenraum, die nicht in diesem Ereignis enthalten sind.

Das Komplement des Ereignisses A bedeutet beispielsweise, dass der erste Student von einem anderen Ort als der Wirtschaftsfakultät kommt. Dies kann mit \$A\prime\$ oder Aᶜ bezeichnet werden.

Zeigen wir das Komplement des Ereignisses A in einem Venn-Diagramm.

In dem obigen Venn-Diagramm stellt der farbige Bereich das Komplement des Ereignisses A dar.

Die Gesamtfläche des Rechtecks stellt die Gesamtwahrscheinlichkeit des Stichprobenraums dar. Sie ist genau eins. Die Fläche außerhalb des Kreises A zeigt die Wahrscheinlichkeit für das Komplement des Ereignisses A. Mit Hilfe des Venn-Diagramms lässt sich die folgende Beziehung herstellen:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

Deshalb,

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

Ermitteln wir die folgenden Wahrscheinlichkeiten.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Student, den Sie für das Vorstellungsgespräch auswählen, nicht aus der Wirtschaftsfakultät kommt, ist sehr hoch:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0,6=0,4$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Student, den Sie für das Vorstellungsgespräch auswählen, kein internationaler Student ist:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0,3=0,7$$

Schnittpunkt der Ereignisse

Die Schnittmenge von zwei Ereignissen A und B ist die Liste aller gemeinsamen Elemente der beiden Ereignisse A und B. Das Wort "AND" wird häufig verwendet, um die Schnittmenge von zwei Mengen anzugeben.

Der Schnittpunkt von Ereignis A und Ereignis B in Beispiel 1 bedeutet, dass ein internationaler Student ausgewählt wird, und der Student ist von der Wirtschaftsfakultät. Dies kann wie folgt dargestellt werden:

$$A\cap B$$

Zeigen wir die Schnittmenge der Ereignisse A und B in einem Venn-Diagramm.

In dem obigen Venn-Diagramm stellt der farbige Bereich die Schnittmenge der Ereignisse A und B dar.

Nehmen wir an, das Ereignis der Auswahl eines lokalen Studenten für das Vorstellungsgespräch ist C. Nun werden wir die Ereignisse A und C in einem Venn-Diagramm darstellen.

Die Auswahl eines internationalen Studenten und eines einheimischen Studenten kann nicht gleichzeitig erfolgen. Angenommen, der erste Student, den Sie auswählen, ist ein internationaler Student. In diesem Fall schließt es das Ereignis aus, dass der erste Student ein einheimischer Student ist. Die Ereignisse A und C schließen sich also gegenseitig aus.

Die sich gegenseitig ausschließenden Ereignisse haben keine gemeinsamen Elemente zwischen ihnen. Daher ist die Schnittmenge von zwei sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen leer.

$$A\cap C=φ$$

Die Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens von Ereignissen kann mit verschiedenen Methoden berechnet werden. Die Ereignisse A und B können wie folgt geschrieben werden.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

Unabhängige Ereignisse

Unabhängige Ereignisse sind Ereignisse, die sich gegenseitig nicht beeinflussen. In unserem Beispiel hat die Wahl eines Studenten aus der Wirtschaftsfakultät keinen Einfluss auf die Wahl eines internationalen Studenten oder nicht. Daher können wir sagen, dass Ereignis A und Ereignis B zwei unabhängige Ereignisse sind.

Wenn Ereignisse unabhängig sind, hängt die Wahrscheinlichkeit, dass eines von ihnen eintritt, nicht von der Wahrscheinlichkeit des anderen ab. Deshalb,

$$P(B/A)=B\ und\ P(A/B)=A$$

Sie können diese Formeln verwenden, um die zuvor gelernte Formel zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit von zwei sich überschneidenden Ereignissen zu ändern.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

Daher kann man die Schnittmenge der beiden Unabhängigen finden, indem man die Wahrscheinlichkeit dieser beiden Ereignisse multipliziert.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

Unter der Annahme, dass die Ereignisse A und B unabhängig sind, bestimmen wir die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Student, den Sie für das Gespräch auswählen, aus der Wirtschaftsfakultät kommt und ein internationaler Student ist.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0,6× 0,3=0,18$$

Vereinigung von Ereignissen

Die Vereinigung von zwei Ereignissen führt zu einem weiteren Ereignis, das alle Elemente von einem oder beiden Ereignissen enthält. Das Wort "ODER" wird normalerweise verwendet, um die Vereinigung zweier Ereignisse zu beschreiben.

In Beispiel 1 bedeutet die Vereinigung der Ereignisse A und B die Auswahl eines internationalen Studenten oder eines Studenten der Wirtschaftsfakultät. Dies kann wie folgt ausgedrückt werden.

$$A\cup B$$

Wir wollen die Vereinigung der Ereignisse A und B in einem Venn-Diagramm darstellen.

Die farbige Fläche des obigen Venn-Diagramms stellt die Vereinigung der Ereignisse A und B dar.

Um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A oder des Ereignisses B zu berechnen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten beider Ereignisse addieren und die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge subtrahieren.

Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung von Ereignissen A und B kann wie folgt geschrieben werden.

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

Wir können die obige Formel ändern und eine neue Formel erstellen, um die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier unabhängiger Ereignisse zu ermitteln, wenn die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge zweier Ereignisse unbekannt ist und die beiden Ereignisse unabhängig sind.

Wenn die Ereignisse unabhängig sind,

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

Deshalb,

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

Berechnen wir, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, die Ereignisse A und B zu kombinieren, d.h. mit welcher Wahrscheinlichkeit würden wir einen Studenten wählen, der BWL studiert, einen internationalen Studenten oder beides gleichzeitig?

$$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,6+0,3-0,18=0,72$$

Mit dem Rechner für die Wahrscheinlichkeit von zwei Ereignissen oder dem Rechner für die Wahrscheinlichkeitslösung von zwei Ereignissen können Sie alle oben genannten Berechnungen schnell durchführen. Sie können den Wahrscheinlichkeitsrechner für zwei Ereignisse auch dann verwenden, wenn Sie die Schritte Ihrer Wahrscheinlichkeitsberechnung überprüfen möchten, da er auch die Schritte für die Berechnung anzeigt.

Normalverteilung

Die Normalverteilung ist symmetrisch und hat eine Glockenform. Eine Normalverteilung hat einen identischen Mittelwert, Median und Modus sowie 50 % der Daten oberhalb des Mittelwerts und 50 % unterhalb des Mittelwerts. Die Kurve der Normalverteilung entfernt sich in beiden Richtungen vom Mittelwert, berührt aber nie die X-Achse. Die Gesamtfläche unter der Kurve ist 1.

Wenn die Zufallsvariable X eine Normalverteilung mit den Parametern μ und σ2 hat, schreibt man X ~ N(μ, σ²).

Wahrscheinlichkeit der Normalverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Normalverteilung ist unten dargestellt:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

In dieser Funktion:

• μ ist der Mittelwert der Verteilung;
• σ² ist die Varianz der Verteilung;
• π ist 3,14;
• e ist 2,7182.

Es ist unmöglich, für jede Kombination von Mittelwert und Standardabweichung eine Wahrscheinlichkeitstabelle zu erstellen, da es unendlich viele verschiedene Normalkurven gibt. Aus diesem Grund wird die Standardnormalverteilung verwendet. Die Normalverteilung mit einem Mittelwert von 0 und einer Standardabweichung von 1 wird als Standardnormalverteilung bezeichnet.

Um die Wahrscheinlichkeit einer Normalverteilung zu berechnen, müssen wir zunächst die tatsächliche Verteilung mithilfe des z-Scores in eine Standardnormalverteilung umwandeln und dann die z-Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit verwenden. Der Normalwahrscheinlichkeitsrechner funktioniert wie ein Standard-Normalwahrscheinlichkeitsrechner, indem er Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Konfidenzniveaus anbietet.

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

Die Standard-Normalverteilungskurve kann zur Lösung einer Vielzahl von Problemen in der realen Welt verwendet werden. Um die Wahrscheinlichkeit von kontinuierlichen Variablen zu bestimmen, wird die Normalverteilung herangezogen. Eine kontinuierliche Variable ist eine Variable, die eine beliebige Anzahl von Werten annehmen kann, sogar einen Dezimalwert. Ein paar Beispiele für kontinuierliche Variablen sind Größe, Gewicht und Temperatur.

Anhand des folgenden Beispiels lernen wir, wie man die Wahrscheinlichkeit einer Normalverteilung ermittelt.

Beispiel

Die Ergebnisse des Statistikkurses Ihrer Gruppe sind normal verteilt, mit einem Mittelwert von 65 und einer Standardabweichung von 10. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Szenarien, wenn ein Student nach dem Zufallsprinzip ausgewählt wird:

• die Schülerin oder der Schüler eine Punktzahl von 70 oder mehr erreicht hat,
• die Schülerin oder der Schüler weniger als 70 Punkte erreicht hat,
• die Punktzahl des Schülers liegt zwischen 50 und 70.

Lösung

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0,5\right)=1-0,6915=0,3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0,5\right)=0,6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1,5>Z>0,5\right)=0,4332+0,1915=0,6247$$

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer Normalkurve umfasst zahlreiche Schritte und erfordert die Verwendung von z-Tabellen. Der Rechner für die Wahrscheinlichkeit der Normalverteilung hingegen hilft Ihnen bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit, indem Sie einfach vier Zahlen in den Rechner eingeben. Um den Rechner für die Normalverteilung zu verwenden, müssen Sie nur den Mittelwert, die Standardabweichung sowie den linken und rechten Rand eingeben.