Durchschnittsberechnung

Mit dem Online-Durchschnittsrechner lässt sich der Durchschnitt für jeden Datensatz leicht ermitteln. Sie können Ihre Daten in das Datenfeld eingeben, kopieren und einfügen. Achten Sie darauf, jeden Datenpunkt durch ein Komma zu trennen. Klicken Sie dann auf die Schaltfläche "Berechnen".

Der Mittelwertrechner zeigt Ihnen den Mittelwert (arithmetisches Mittel), die Berechnungsschritte und andere zugehörige Statistiken für den Datensatz an.

Der Durchschnitt

Der Durchschnitt ist definiert als der Mittelwert der Werte in einem Datensatz. Zur Berechnung des Durchschnitts werden alle Werte des Datensatzes herangezogen. Er repräsentiert also den gesamten Datensatz. Der Durchschnitt wird als eines der wichtigsten Maße für die zentrale Tendenz oder die Zusammenfassung angesehen.

Das einfache arithmetische Mittel ist der häufigste Durchschnitt. Es gibt jedoch mehrere Arten von Durchschnittswerten, darunter das geometrische Mittel, das gewichtete Mittel, das kombinierte arithmetische Mittel, das harmonische Mittel usw.

Der Durchschnitt einer Grundgesamtheit wird durch μ (Mu) und der Durchschnitt einer Stichprobe durch X̄ (X-Balken) dargestellt.

Einfacher Durchschnitt

Der einfache Durchschnitt wird berechnet, indem die Werte des Datensatzes durch die Gesamtzahl der Datenelemente geteilt werden. Der einfache Durchschnitt wird manchmal auch als Mittelwert, arithmetisches Mittel oder Durchschnitt bezeichnet.

Um den Durchschnitt einer Population zu berechnen, können wir die folgende Formel verwenden.

μ = Summe der Werte des Datensatzes / Gesamtzahl der Datenwerte in der Grundgesamtheit = ΣX / N

Um den Durchschnitt einer Stichprobe zu berechnen, können wir die folgende Formel verwenden:

X̄ = Summe der Werte des Datensatzes / Gesamtzahl der Datenwerte in der Stichprobe = ΣX/n

Lernen wir den Durchschnitt anhand des folgenden Beispiels.

Beispiel

Jasmines Noten in sieben Fächern aus dem letzten Semester sind in der folgenden Tabelle aufgeführt. Was ist der Durchschnitt von Jasmines Noten in den Fächern des letzten Semesters?

Thema	Punktzahl
Management	84
Kommunikation	90
Rechnungswesen	75
Wirtschaft	60
Unternehmensstatistik	85
Internationale Studien	92
Mathematik	81

Lösung

Die durchschnittliche Punktzahl = ΣX / N = (84 + 90 + 75 + 60 + 85 + 92 + 81) / 7 = 567 / 7 = 81

Der Durchschnitt ist ein Begriff, den jeder kennt. Das durchschnittliche Einkommen, die durchschnittlichen Produktionskosten, der durchschnittliche Preis, die durchschnittliche Punktzahl, der durchschnittliche Kraftstoffverbrauch usw. sind einige Beispiele, die Sie vielleicht schon oft gehört haben. Auch im täglichen Leben ist der einfache Durchschnitt eine Standardberechnung. Der einfache Durchschnitt oder das einfache arithmetische Mittel ist auch als idealer Durchschnitt bekannt.

In einigen Situationen verwenden wir jedoch andere Maße der zentralen Tendenz. Lassen Sie uns diese betrachten.

Geometrischer Mittelwert

Das arithmetische Mittel ist kein geeignetes Maß für die Ermittlung der durchschnittlichen Wachstumsrate eines Wertes im Zeitverlauf. Das geometrische Mittel, das häufig in der Buchhaltung und im Finanzwesen verwendet wird, z. B. bei der Berechnung von Zinseszinsen, ist ein viel besserer Indikator für solche Berechnungen. Der Grund dafür ist, dass die Wachstumsrate nicht additiv, sondern multiplikativ ist.

Das geometrische Mittel Ihres Datensatzes ist definiert als die n-te Wurzel aus dem Produkt von n Elementen. Es wird berechnet, indem alle Werte miteinander multipliziert werden und dann die n-te Wurzel des Produkts berechnet wird, wobei n die Anzahl der Elemente im Datensatz ist. Das geometrische Mittel ist hilfreich bei der Mittelwertbildung von Verhältnissen, Prozentsätzen und Wachstumsraten.

$$Geometrischer\ Mittelwert = \sqrt[n]{x₁×x₂×x₃×…×xₙ} = (x₁×x₂×x₃×…×xₙ)^{\frac{1}{n}}$$

Wir werden das geometrische Mittel des vorherigen Beispiels finden.

$$Geometrischer\ Mittelwert = \sqrt[7]{84×90×75×60×85×92×81} = 80,31$$

Der Geometrische Mittelwert ist immer gleich oder niedriger als der einfache Durchschnitt (arithmetisches Mittel).

In unserem Beispiel,

Geometrisches Mittel ≤ Der Durchschnitt

80,31 < 81

Mit dem Durchschnittsrechner können Sie nicht nur das arithmetische Mittel ermitteln. Sie können ihn auch verwenden, um den geometrischen Mittelwert Ihres Datensatzes zu ermitteln.

Gewichteter Durchschnitt

Beim einfachen arithmetischen Mittel haben alle Werte das gleiche Gewicht oder die gleiche Bedeutung. Aber in manchen Fällen können wir nicht jedem Wert in unserem Datensatz die gleiche Bedeutung beimessen.

In unserem Beispiel haben wir den Durchschnitt berechnet, indem wir alle Punkte addiert und durch die Gesamtzahl der Themen geteilt haben. Wir haben die relative Bedeutung der einzelnen Themen nicht berücksichtigt.

Der gewichtete Durchschnitt muss verwendet werden, wenn bei der Berechnung des Durchschnitts die relative Bedeutung der einzelnen Elemente unseres Datensatzes berücksichtigt werden muss. Der gewichtete Durchschnitt wird berechnet, indem die gewichteten Werte durch die Summe der Gewichte geteilt werden. Der Datenwert multipliziert mit dem entsprechenden Gewicht ist der gewichtete Wert.

Wir können die folgende Formel verwenden, um den gewichteten Durchschnitt zu ermitteln.

Der gewichtete Durchschnitt = Die Summe der gewichteten Werte / Die Summe der Gewichte = ΣWX / ΣW

Beispiel

Nehmen wir an, dass jedes der Fächer aus dem vorherigen Beispiel eine andere Gewichtung hat. Die aktualisierte Datentabelle für Jasmines Punktzahl in 7 Fächern des vorherigen Semesters sieht also wie folgt aus.

Gewichteter Durchschnitt von Jasmines Noten aus dem vorherigen Semester

Thema	Punktzahl	Gewicht
Management	84	3
Kommunikation	90	2
Rechnungswesen	75	4
Wirtschaft	60	3
Business Statistics	85	3
Internationale Studien	92	2
Mathematik	81	3

Lösung

Die gewichtete Durchschnittsnote = ΣWX / ΣW = (84×3+90×2+75×4+60×3+85×3+92×2+81×3)/(3+2+4+3+3+2+3) = (252+180+300+180+255+184+243)/20 = 1594/20 = 79,7

Der Median

Der Median ist der Mittelwert einer Datensammlung, wenn sie aufsteigend (niedrigster Wert zum höchsten Wert) oder absteigend (höchster Wert zum niedrigsten Wert) angeordnet ist. Mit anderen Worten, der Median ist der Punkt, an dem das Datenfeld (ein Feld ist eine Anordnung von Rohdaten in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge der Werte) in zwei gleiche Teile geteilt wird. Das bedeutet, dass 50 % der Werte unter dem Median und 50 % über dem Median liegen.

Die Medianberechnungsmethode

Um den Median zu finden, müssen wir zunächst die Position des Medians mit Hilfe der folgenden Formel bestimmen:

$$Die\ Position\ des\ Medians = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{te}punkt$$

Das "n" steht für die Gesamtzahl der Elemente des Datensatzes.

Wenn die Gesamtzahl der Elemente im Datensatz ungerade ist, ist der Wert des Elements an der mittleren Position der Median. Nehmen wir aber an, die Gesamtzahl der Elemente im Datensatz ist eine gerade Zahl. In diesem Fall ist der Mittelwert zwischen den beiden Zahlen in der Mitte der Median.

Unterschiede zwischen dem Mittelwert und dem Median

1. Der Mittelwert oder Durchschnitt wird berechnet, indem alle Werte in einem Datensatz summiert und dann durch die Anzahl der Beobachtungen geteilt werden. Er gibt uns einen Wert, der jeden Punkt im Datensatz berücksichtigt. Im Gegensatz dazu ist der Median der mittlere Wert in einem Datensatz, der von niedrig nach hoch geordnet ist, und bietet einen zentralen Punkt, der den Datensatz in zwei Hälften teilt, aber nicht die Größe aller Werte berücksichtigt.

2. Sowohl der Mittelwert als auch der Median können visuell aus einer grafischen Darstellung der Daten geschätzt werden. Der Mittelwert kann in einer symmetrischen Verteilung grob geschätzt werden, da er in der Mitte liegen sollte, während der Median als mittlerer Wert beispielsweise in einem Boxplot bestimmt werden kann.

3. Sowohl der Mittelwert als auch der Median haben ihre Verwendung in weiteren statistischen Analysen. Der Mittelwert ist besonders nützlich für Daten, die normalverteilt sind und keine Ausreißer enthalten, da er in Berechnungen von Varianz und Standardabweichung einbezogen wird. Der Median ist wertvoll als Maß für die zentrale Tendenz, wenn die Daten schief verteilt sind oder Ausreißer enthalten, und er wird häufig in nicht-parametrischen statistischen Tests verwendet, die keine spezifische Datenverteilung voraussetzen.

Wann den Mittelwert verwenden

Der Mittelwert ist das geeignetste Maß für die zentrale Tendenz, wenn der Datensatz eine symmetrische Verteilung ohne Ausreißer aufweist. Er ist ein zuverlässiger Indikator für das Zentrum der Daten, weil er jeden Wert einbezieht. Enthält ein Datensatz Ausreißer, kann es vorzuziehen sein, diese zu entfernen, bevor der Mittelwert berechnet wird, um eine genaue Darstellung der zentralen Tendenz zu gewährleisten.

Wann den Median verwenden

Der Median ist das bevorzugte Maß für die zentrale Tendenz beim Umgang mit schiefen Verteilungen oder wenn Ausreißer vorhanden sind. Dies liegt daran, dass der Median, der mittlere Wert eines von niedrig nach hoch geordneten Datensatzes, nicht durch extreme Werte beeinflusst wird, im Gegensatz zum Mittelwert. In solchen Fällen bietet der Median einen besseren zentralen Wert, der die Mehrheit der Daten repräsentiert, ohne durch Ausreißer verzerrt zu werden.

Ändern wir unser ursprüngliches Beispiel und lernen wir etwas über die Ausreißer.

Beispiel

Angenommen, Jasmine hat für internationale Studien 15 statt 92 Punkte erhalten. Wie hoch ist der Durchschnitt von Jasmines neuer Punktzahl in den Fächern des vorherigen Semesters?

Thema	Punktzahl
Management	84
Kommunikation	90
Rechnungswesen	75
Wirtschaft	60
Unternehmensstatistik	85
Internationale Studien	15
Mathematik	81

Lösung

Die durchschnittliche Punktzahl = ΣX / N = (84+90+75+60+85+15+81)/7 = 490/7 = 70

Die neue Durchschnittspunktzahl beträgt 70. Er wird um 11 von 81 auf 70 reduziert. Du konntest sehen, wie die Ausreißer den Durchschnitt beeinflussen.

In einer solchen Situation ist der Median der Daten ein geeigneteres Maß für die zentrale Tendenz als der Mittelwert. Um dies zu verstehen, lassen Sie uns den Median für das ursprüngliche und das geänderte Beispiel berechnen.

Beispiel

In der nachstehenden Tabelle sind Jasmines Originalnoten für sieben Fächer aus dem letzten Semester aufgeführt. Was ist der Median von Jasmines Noten in den Fächern des letzten Semesters?

Thema	Punktzahl
Management	84
Kommunikation	90
Rechnungswesen	75
Wirtschaft	60
Unternehmensstatistik	85
Internationale Studien	92
Mathematik	81

Lösung

Im ersten Schritt werden wir alle Noten als Array anordnen. Je nach Vorliebe können Sie sie in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge anordnen.

60, 75, 81, 84, 85, 90, 92

$$Die\ Position\ von\ dem\ Median = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{te}punkt = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{te}punkt = 4^{te}punkt$$

Als Nächstes werden wir prüfen, welches das 4. Element unseres Datensatzes ist. Es ist 84. Daher ist der Median des Datensatzes 84. Nun werden wir den Median des modifizierten Datensatzes mit den Ausreißern ermitteln.

Beispiel

Angenommen, Jasmine hat 15 statt 92 Punkte für internationale Studien erhalten. Wie lautet der neue Medianwert für die Fächer, die Jasmine im letzten Semester belegt hat?

Thema	Punktzahl
Management	84
Kommunikation	90
Rechnungswesen	75
Wirtschaft	60
Unternehmensstatistik	85
Internationale Studien	15
Mathematik	81

Lösung

Im ersten Schritt ordnen wir alle Ergebnisse in einem Array an. Ordnen wir unsere Daten in aufsteigender Reihenfolge an.

60, 75, 81, 84, 85, 90, 92

$$Die\ Position\ von\ dem\ Median = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{te}punkt = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{te}punkt = 4^{te}punkt$$

Jetzt werden wir prüfen, was das 4. Element unseres Datensatzes ist. Es ist 84 und stellt den Median des Datensatzes dar.

Auch wenn es in diesem Fall einen Ausreißer gibt, ist der Median nicht betroffen.