Permutations-Rechner

Der Permutationsrechner berechnet die Anzahl der möglichen Anordnungen von n verschiedenen Objekten, wobei jeweils eine Stichprobe von r Elementen genommen wird. Er gibt die Anzahl der möglichen Anordnungen von Objekten in Gruppen an, bei denen die Reihenfolge der Anordnung wichtig ist. Die Gesamtzahl der anzuordnenden Objekte wird mit n bezeichnet, während die Anzahl der Elemente in jeder Gruppe mit r bezeichnet wird.

Wenn wir zum Beispiel die Buchstaben XYZ in Gruppen von jeweils zwei Buchstaben anordnen wollen, dann haben wir XY, XZ, YZ, YX, ZX und ZY: 6 Möglichkeiten.

Um diesen Rechner zu benutzen, geben Sie n, die Gesamtzahl der Objekte, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet werden sollen, und r, die Anzahl der Elemente in jeder Gruppe, ein und klicken Sie dann auf "Berechnen". Mit der Schaltfläche "Löschen" können Sie den Rechner auch löschen, um einen anderen Satz von Zahlen einzugeben.

Permutationen

Eine Permutation einer Menge ist eine Anordnung ihrer Elemente in einer Folge oder einer bestimmten Reihenfolge. Wenn eine Menge bereits geordnet ist, handelt es sich um eine Permutation ihrer Elemente. Für eine Permutation ist die Reihenfolge der Elemente wichtig. Zum Beispiel sind die Permutationen AB und BA zwei verschiedene Permutationen. Die Anzahl der Permutationen von n Objekten in Stichproben von r Objekten wird als nPr bezeichnet.

Die Berechnung der Anzahl der Permutationen hängt von den anzuordnenden Objekten ab. Sie hängt auch davon ab, ob Wiederholungen erlaubt sind oder nicht. Sofern nicht anders angegeben, gehen wir davon aus, dass Wiederholungen bei der Berechnung von Permutationen nicht erlaubt sind.

In diesem Artikel werden wir uns Beispiele für Permutationen ohne Wiederholungen ansehen.

Permutationen folgen dem fundamentalen Prinzip der Zählung. Es besagt, dass, wenn ein Experiment aus k Ereignissen besteht, bei denen das erste Ereignis n₁ mal auftritt, das zweite Ereignis n₂ mal auftritt. Und so weiter, bis das Ereignis nₖ-mal auftritt. Die Anzahl der Möglichkeiten, wie das Experiment nacheinander auftreten kann, ist durch das Produkt der Anzahl der Ereignisse gegeben, also n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Angenommen, wir wollen die Anzahl der möglichen Anordnungen der Buchstaben ABC ohne Wiederholungen in Permutationen wissen. Jeder der Buchstaben kann an erster Stelle stehen, also gibt es 3 Möglichkeiten, den ersten Buchstaben zu setzen.

Nachdem der erste Buchstabe gesetzt wurde, bleiben zwei Buchstaben übrig, und jeder der beiden Buchstaben kann als zweiter Buchstabe gesetzt werden, es gibt also zwei Möglichkeiten, den zweiten Buchstaben zu setzen. Nachdem der zweite Buchstabe gesetzt ist, bleibt nur noch ein Buchstabe übrig. Es gibt also nur eine Möglichkeit, den dritten Buchstaben zu setzen.

Nach dem fundamentalen Zählprinzip gibt es also 3 × 2 × 1 = 6 Möglichkeiten, die Buchstaben ABC anzuordnen. Diese sind ABC, ACB, BCA, BAC, CAB und CBA.

Die Faktorielle

Oben haben wir festgestellt, dass die Anzahl der Permutationen von 3 verschiedenen Objekten durch 3 × 2 × 1 = 6 gegeben ist. Im Allgemeinen ist die Anzahl der Permutationen von n Objekten (insgesamt) gegeben durch n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Das ist die Multiplikation aller ganzen Zahlen von n bis hinunter zu 1. Die Multiplikation aller ganzen Zahlen von einer ganzen Zahl, z. B. n, bis hinunter zu 1 nennt man Fakultät und wird mit ! (das Ausrufezeichen) bezeichnet.

Somit ist n!= n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 und wird n-faktoriell genannt.

Beachten Sie, dass 0!=1 und 1!=1.

Das Beispiel der Permutationen

Die Standardbahn für olympische Läufe hat normalerweise 9 Bahnen. Für den 100-Meter-Lauf wird Bahn 1 jedoch normalerweise nicht benutzt. 8 Läufer werden auf den Bahnen 2 bis 9 hintereinander platziert. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 8 Läufer auf den Bahnen 2 bis 9 anzuordnen?

Nach dem fundamentalen Zählprinzip:

• jeder der 8 Läufer erhält Bahn 2,
• jeder der verbleibenden 7 Läufer kann Bahn 3 bekommen,
• jeder der verbleibenden 6 Läufer kann Bahn 4 bekommen,
• jeder der verbleibenden 5 Läufer kann Bahn 5 bekommen,
• jeder der verbleibenden 4 Läufer kann Bahn 6 bekommen,
• jeder der verbleibenden 3 Läufer kann Bahn 7 bekommen,
• jeder der verbleibenden 2 Läufer kann Bahn 8 erhalten,
• ein verbleibender Läufer erhält Bahn 9.

Daher beträgt die Gesamtzahl der möglichen Permutationen der 8 Läufer, die auf den 8 Spuren angeordnet werden können, 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 Möglichkeiten.

Geben Sie im Permutationsrechner in die Felder n (Objekte) und r (Stichprobe) jeweils 8 ein und klicken Sie auf Berechnen, um 40.320 zu erhalten.

Permutation von Teilmengen

In den vorangegangenen Beispielen haben wir die Permutationen von Objekten betrachtet, wenn alle Objekte in der Anordnung berücksichtigt werden. Es gibt jedoch Situationen, in denen die Objekte in kleineren Gruppen angeordnet sind.

In diesen Fällen wird die Gesamtzahl der Objekte mit n bezeichnet, die Anzahl der Objekte in den Gruppen (Stichprobe) mit r, und die Formel gibt die Anzahl der Permutationen an:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Diese Formel wird verwendet, um Permutationen ohne Wiederholungen zu berechnen. Und wenn wir eine Stichprobe r aus der Menge n in einer bestimmten Reihenfolge anordnen müssen.

Wenn wir die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, mit denen wir alle Elemente der Menge in einer bestimmten Reihenfolge und ohne Wiederholungen anordnen können, können wir die folgende Formel verwenden:

$$ₙPᵣ=n!$$

Beispiel

Im obigen Beispiel haben wir untersucht, wie viele Möglichkeiten es gibt, alle acht Läufer in einem 100-Meter-Lauf aufzustellen. In demselben Rennen sind nun drei Medaillen zu gewinnen. Der Erstplatzierte erhält die Goldmedaille, der Zweit- und Drittplatzierte die Silber- bzw. Bronzemedaille. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus den 8 Läufern des Rennens die Gold-, Silber- und Bronzemedaillengewinner zu ermitteln?

Nach dem Grundprinzip der Zählung kann jeder der 8 Läufer die erste Position einnehmen. Nachdem die erste Position besetzt ist, bleiben sieben Läufer übrig, die sich um die zweite Position bewerben. Und nach der zweiten Position würden sechs Läufer für die dritte Position in Frage kommen. Die Gesamtzahl der möglichen Permutationen der ersten bis dritten Position der 8 Läufer ist also: 8 × 7 × 6 = 336

Wir verwenden die Formel:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Und wir erhalten

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

Und im Permutationsrechner geben Sie 8 in das Feld n (Objekte) und 3 in das Feld r (Stichprobe) ein und klicken auf "Berechnen", um 336 zu erhalten.

Permutationen und Kombinationen: Der Unterschied

Eine weitere wichtige Zähltechnik sind Kombinationen. Kombinationen sind die verschiedenen Möglichkeiten, wie eine kleinere Anzahl von Objekten (Stichprobe), r, aus einer größeren Anzahl von Objekten, n, ausgewählt werden kann. Die Anzahl der Kombinationen von r Objekten aus n Objekten wird einfach mit ₙCᵣ bezeichnet.

In der Definition von Permutation haben wir erwähnt, dass die Reihenfolge oder Anordnung wichtig ist. Nun, das ist der Unterschied zwischen Permutationen und Kombinationen, denn bei Kombinationen ist die Reihenfolge nicht wichtig.

So haben wir zum Beispiel festgestellt, dass die Permutationen der Buchstaben XYZ in Gruppen von jeweils zwei Buchstaben die folgenden sind: XY, XZ, YZ, YX, ZX und ZY. Wir erhalten also sechs Permutationen.

Die Kombinationen der Buchstaben XYZ in Gruppen von je zwei Buchstaben sind jedoch XY, XZ und YZ, also drei Kombinationen. Das liegt daran, dass bei Kombinationen XY und YX als dieselben Kombinationen angesehen werden; dasselbe gilt für XZ und ZX und dasselbe für YZ und ZY. Daher spielt die Reihenfolge der Anordnung bei der Berechnung von Kombinationen keine Rolle.

Die Formel gibt die Anzahl der Kombinationen von r Objekten aus n Objekten an:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Beispiel für die Berechnung von С-Kombinationen

Im obigen Beispiel mit den Läufern haben wir die Anzahl der Möglichkeiten erhalten, wie wir den ersten, zweiten und dritten Platz aus einer Gruppe von 8 Läufern auswählen können. Nehmen wir an, wir wollen wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus der Gruppe von 8 Läufern 3 Medaillengewinner auszuwählen, ohne ihre Positionen zu berücksichtigen. Dabei spielt es keine Rolle, ob die Person den ersten, zweiten oder dritten Platz belegt, solange der Läufer eine Medaille gewinnt.

In diesem Fall werden Kombinationen verwendet, da die Reihenfolge der Medaillen unwichtig ist. Wir lösen das Problem also mit der Kombinationsformel.

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Die Anzahl der Möglichkeiten, wie 3 Medaillengewinner aus 8 Läufern ausgewählt werden können, ist gegeben durch:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Beispiele für die Berechnung von Permutationen

1. Der Nachrichtenproduzent kann 3 der 5 Gastsprecher für seine analytische Sendung auswählen. Die Reihenfolge der Gäste ist wichtig. Auf wie viele verschiedene Arten kann der Produzent die Präsentationen der Gäste anordnen? Die Reihenfolge ist wichtig und Wiederholungen werden nicht verwendet, da derselbe Gast nicht zweimal in derselben Nachrichtensendung auftreten kann. Daher können wir die Formel für Permutationen verwenden.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Der Produzent hat also 60 Möglichkeiten, die Sprecher zu organisieren.

2. Ein Restaurantkritiker hat 10 gute Lokale in der Stadt ausgewählt, die Sushi servieren, um die 3 besten Sushi-Restaurants zu ermitteln. Die Lokale müssen in einer Reihenfolge präsentiert werden, die ihren Platz in der Rangliste zeigt. Außerdem darf ein und dasselbe Lokal nicht mehrmals in der Rangliste erscheinen. Damit erfüllen wir die Anforderungen an die Permutationsformel - die Reihenfolge ist wichtig und es sollte keine Wiederholungen geben. Wir verwenden die Formel für Permutationen:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Wenn wir sagen, dass die Reihenfolge für Permutationen wichtig ist, bedeutet das nicht, dass die Reihenfolge numerisch von 1 bis, sagen wir, 10 oder einer anderen Zahl sein muss. Die Reihenfolge kann durch bestimmte Objekte gebildet werden, zwischen denen wir unsere Elemente der Menge zuordnen.

Nehmen wir zum Beispiel den Leiter einer Firma für Hausreparaturen. Er hat heute vier Aufträge zum Streichen von Räumen. Es handelt sich um das Büro einer Visa-Agentur, ein Lager in einer Fabrik, ein Bekleidungsgeschäft und ein Zimmer in einer Privatwohnung. Das Unternehmen hat sechs Maler. Jeder von ihnen kann an einem Tag 1 Objekt streichen. Die übrigen zwei Maler haben den Tag frei.

Bei diesen Objekten handelt es sich um das Büro einer Visumagentur, ein Lager in einer Fabrik, ein Bekleidungsgeschäft und ein Zimmer in einer Privatwohnung, die den Positionen 1, 2, 3 und 4 entsprechen.

Die Führungskraft wird über Folgendes verfügen:

6 Bewerber, die dem Büro zugewiesen werden können, 5 verbleibende Bewerber, die dem Lager zugewiesen werden, 4 verbleibende Bewerber, die in den Laden geschickt werden, 3 verbleibende Bewerber, denen ein Zimmer in einer Privatwohnung zugewiesen werden kann.

Intuitiv können wir also die Anzahl der Wahlmöglichkeiten als 6 × 5 × 4 × 3 = 360 beschreiben.

Uns wird die Bedingung gestellt, dass die Reihenfolge, in der die Maler auf die Objekte verteilt werden, für uns wichtig ist. Es darf keine Wiederholung geben, d. h. ein Maler darf am selben Tag an mehr als einem Objekt arbeiten. Wir können also die Permutationsformel anwenden, die wir bereits verwendet haben.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Es stellt sich heraus, dass es 360 verschiedene Möglichkeiten gibt, wie der Leiter eines Heimwerkerunternehmens die Aufträge unter den verfügbaren Malern zu bestimmten Bedingungen verteilen kann.